Handledning – Tangent-Normal 1

[latexpage]
Förkunskaper: Ma4, tangentens ekvation, normalens ekvation, kedjeregeln.
Syfte: En klassisk tangentuppgift där man får prova sina kunskaper om kedjeregeln och tangentens/normalens ekvation.

Lösningsförslag inkl elevtips:
Svar: Tangenten har ekvation 3y-2x=10 och normalen ekvation 3x+2y=24.

Lösning: Sätt $ f(x)=\sqrt{7x+4\sqrt{x}}=\sqrt{g(x)} $, där $ g(x)=7x+4\sqrt{x} $.

Tangentens ekvation ges av $ y-y_0=k_t(x-x_0) $ där $ k_t=f'(x_0) $. Vi har $x_0=4$ som ger $ y_0=\sqrt{28+4\cdot 2}=6 $.

Kedjeregeln ger då att

=$ \displaystyle f'(x)=\frac{g'(x)}{2\sqrt{g(x)}}= \frac{7+\frac{4}{2\sqrt x}}{2\sqrt{7x+4\sqrt{x}}} $,

dvs då $ x_0=4 $ får vi $ k_t=f'(4)=\frac{7+1}{2\sqrt{28+8}}=\frac 23 $. Alltså tangenten ges av ekvationen $ y-6=\frac 23(x-4) $.

Normalen har riktningskoefficient $ k_n=-\frac{1}{k_t}=-\frac 32 $ och därför ges normalen av ekvationen $ y-6=-\frac 32(x-4) $