Handledning – Tangent-Normal 4

Handledning – Tangent-Normal 4

   Handledning Ma4    20 februari, 2023  |  0


Förkunskaper: Ma4

Lösningsförslag inkl elevtips:
Ellipsens ekvation är \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 dvs b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2. Med implicit derivering (dvs antag att y=y(x) och derivera m.a.p. x) fås b^22x+a^22yy'(x)=0 varav följer att y'=-\frac{b^2}{a^2}\frac{x}{y}.

Antag att P=(x_0,y_0) med x_0>0, y_0>0. Då är tangentens riktningskoefficienten k_t=-\frac{b^2}{a^2}\frac{x_0}{y_0} och normalens riktningskoefficient k_n=\frac{a^2}{b^2}\frac{y_0}{x_0}.

Tangent : y-y_0=-\frac{b^2}{a^2}\frac{x_0}{y_0}(x-x_0). Skärning med x-axeln : Sätt y=0. Då fås

x=x_0+\frac{a^2}{b^2}\frac{y_0^2}{x_0}=\frac{b^2x_0^2+a^2y_0^2}{b^2x_0}=\frac{a^2b^2}{b^2x_0}=\frac{a^2}{x_0}

(med ellipsens ekvation), dvs Q har koordinaterna (x,y)=(\frac{a^2}{x_0},0) och avståndet |OQ|=\frac{a^2}{|x_0|}=\frac{a^2}{x_0} om x_0>0.

Vidare har vi normalen : y-y_0=\frac{a^2}{b^2}\frac{y_0}{x_0}(x-x_0). Skärning med x-axeln : Sätt y=0. Då fås

x=x_0-\frac{x_0b^2}{a^2}=\frac{x_0}{a^2}(a^2-b^2)

och avståndet |OR|=|\frac{x_0}{a^2}(a^2-b^2)|=\frac{x_0}{a^2}(a^2-b^2) om x_0>0 och a>b>0.

Sökt: |OQ||OR|= \frac{a^2}{x_0}\frac{x_0}{a^2}(a^2-b^2)=(a^2-b^2) där a^2-b^2>0 om a>b>0.

 

  • Kategori

  • Ämnesområde

Info

Material

Medverkande

©  2023 MATTESHERPA. Byggt med WordPress och temat Mesmerize

             ©  2021 MATTESHERPA. Byggt av Matematiska Vetenskaper