Handledning – Tredjegradsekvation Med Heltalslösning

[latexpage]
Förkunskaper: Ma4, Ma5
Syfte: Uppgiften ger eleven möjligheten att gissa en heltalslösning (ekvationen har roten $ \lambda=1, \forall a \in \mathbb{R} $) och sedan polynomdividera bort en faktor $ \lambda – 1 $.

Lösningsförslag inkl elevtips:
ii) När eleven kommit underfund med att $ \lambda = 1 $ för vilket $ a $ man än väljer, t.ex. genom att inse att om

$ f(\lambda )= \lambda^3 -2\lambda^2+a\lambda + (1-a) $

blir

$ f(1)=1^3-2\cdot 1^2 + a +(1-a)=0 $

Enligt restsatsen blir då resten 0 vid division med $ \lambda – 1 $.

Polynomdivision kan utföras genom att man bryter ut faktorn $ \lambda – 1 $.

$ \lambda^3 -2\lambda^2+a\lambda + (1-a) $

$ =\lambda^2(\lambda-1)-\lambda^2 +a\lambda + (1-a) $

$ =\lambda^2(\lambda-1)-\lambda(\lambda-1)-\lambda +a\lambda + (1-a) $

$ =\lambda^2(\lambda-1)-\lambda(\lambda-1)-(\lambda-1)(1-a) $

$ =(\lambda^2-\lambda-(1-a))(\lambda-1) $

När nollställena för detta uttryck söks inses att en rot alltid är $ \lambda_1 = 1 $, de övriga två erhålls genom att sätta

$ \lambda^2-\lambda-(1-a)=0 $

iii) Genom att känna till sambandet mellan summan av en andragradsekvations rötter och dess koefficienter inses här att summan av lösningarna till

$ \lambda^2-\lambda-(1-a)=0 $

är 1. Detta får till följd att summan av de tre rötterna alltid är

$ \lambda_1+(\lambda_2+\lambda_3)=1+1=2 $

iv) De gångerna man får en dubbelrot är då en av lösningarna till andragradsekvationen är 1, dvs. då $ a=1 $ eller då andragradsekvationen själv ger en dubbelrot, dvs. för $ a=5/4 $.

Nästa steg:
Eleven kan skapa egna ekvationer som är av liknande typ, dvs. en ekvation som alltid har lösningen $ x=x_0 $ för alla värden på en koefficient $ a $.