Handledning – Tredjegradsekvation

[latexpage]
Förkunskaper: Ma2, Ma3, 3-grad, ekvation, polynom, bevis, teknisk färdighet

Lösningsförslag inkl elevtips:

(a) Substitutionen $ x=t+k $ ger

$$ t^3+(3k+a)t^2+(3k^2+2ak+b)t+k^3+ak^2+bk+c=0.$$

Välj $ k=-\frac a3 $ för att få koefficienten framför $ t^2 $ noll. Då blir konstanten och koefficienterna framför $ t $

$$p = b – \frac{a^2}{3}.$$

$$ q=\frac{2a^3}{27}-\frac{ab}{3}+c.$$

(b) Sätt

$$ \left{ \begin{array}{l} A=\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}} \\ B=\frac {q}{2}, \end{array} \right$$

dvs skriv $$ t=\sqrt[3]{A-B}-\sqrt[3]{A-B}.$$

Bilda

$$ \begin{array}{rl} t^3=&(\sqrt[3]{A-B}-\sqrt[3]{A-B})^3= \\ =&(A-B)-3(A-B)^{2/3}(A+B)^{1/3}+3(A-B)^{1/3}(A+B)^{2/3}-(A-B)= \\ =& -2B-3(A-B)^{1/3}(A+B)^{1/3} \left( (A-B)^{1/3}-(A+B)^{1/3}\right) \end{array} $$

där $ -2B=q $ och

$$ 3(A-B)^{1/3}(A+B)^{1/3}=(A^2-B^2)^{1/3}=(\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}-\frac{q^2}{4})^{1/3}=\left(\frac{p^3}{27}\right)^{1/3}=\frac p3.$$

Alltså är

$$ \displaystyle t^3=-q-p\left(A-B)^{1/3}-(A+B)^{1/3}\right)= -q-pt $$

där

$$ \displaystyle t^3+pt+q=0 $$

vilket skulle bevisas.