Handledning – Tredjegradsekvation

Emilia Ekstrand Handledning Ma2 Ma3 20 februari, 2023 | 0

Förkunskaper: Ma2, Ma3, 3-grad, ekvation, polynom, bevis, teknisk färdighet

Lösningsförslag inkl elevtips:
Uppgift: Tredjegradsekvation

(a) Substitutionen $x=t+k$ ger

$t^3+(3k+a)t^2+(3k^2+2ak+b)t+k^3+ak^2+bk+c=0.$

Välj $k=-\frac a3$ för att få koefficienten framför $t^2$ noll. Då blir konstanten och koefficienterna framför $t$

$p = b - \frac{a^2}{3}.$

$q=\frac{2a^3}{27}-\frac{ab}{3}+c.$

(b) Sätt

$\left{ \begin{array}{l} A=\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}} \\ B=\frac {q}{2}, \end{array} \right$

dvs skriv

$t=\sqrt[3]{A-B}-\sqrt[3]{A-B}.$

Bilda

$\begin{array}{rl} t^3=&(\sqrt[3]{A-B}-\sqrt[3]{A-B})^3= \\ =&(A-B)-3(A-B)^{2/3}(A+B)^{1/3}+3(A-B)^{1/3}(A+B)^{2/3}-(A-B)= \\ =& -2B-3(A-B)^{1/3}(A+B)^{1/3} \left( (A-B)^{1/3}-(A+B)^{1/3}\right) \end{array}$

där $-2B=q$ och

$3(A-B)^{1/3}(A+B)^{1/3}=(A^2-B^2)^{1/3}=(\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}-\frac{q^2}{4})^{1/3}=\left(\frac{p^3}{27}\right)^{1/3}=\frac p3.$

Alltså är

$\displaystyle t^3=-q-p\left(A-B)^{1/3}-(A+B)^{1/3}\right)= -q-pt$

där

$\displaystyle t^3+pt+q=0$

vilket skulle bevisas.

Algebra

Handledning – Tredjegradsekvation

Handledning – Tredjegradsekvation

Kategori

Ämnesområde

Info

Material

Medverkande

MATTESHERPA