Handledning – Triangel Cirkel

[latexpage]
Förkunskaper: Denna uppgift kräver ingenting utöver enkel geometri (Pytagoras sats). Ma1
Syfte: Träna upp geometriskt tänkande

Lösningsförslag inkl elevtips:
Beteckningar: $A, B, C$ är triangelns hörnpunkter, $A$ är kateternas skärningspunkt, $r$ resp. $M$ är radien resp. medelpunkten av den sökta cirkeln.

Eftersom cirkeln tangerar kateterna så är $A, M$ hörnpunkter av en kvadrat med diagonalen $AM$ och sidolängden $r.$ Arean av den givna triangeln är summan av areorna av triangeln $CAM$ och $AMB$, dvs. $\frac{1}{2} ab = \frac{1}{2} ar + \frac{1}{2} br$ ($r$ är höjden, $AC$ resp. $AB$ baslinjen), alltså $ab=(a+b)r$ och därmed

$ r=\frac{ab}{a+b} $ och $ \frac{1}{r}= \frac{a+b}{ab}= \frac{1}{b}+ \frac{1}{ a }. $

Konstruktionen är enkel: $M$ är skärningspunkten mellan bisektrisen i $A$ och hypotenusan.

Svar: $ r=\frac{ ab }{ a+b } $

Nästa steg:
Så kan du konstruera den totala resistansen vid två parallellkopplade motstånd (resistorer)