Handledning – Triangel Med Maximal Area

[latexpage]
Förkunskaper: Herons formel samt olikheten mellan aritmetiska och geometriska medelvärden. Ma2.

Lösningsförslag inkl elevtips:
Vi tänker oss en triangel med sidlängderna a, b och c samt arean T.

Vi har att

$2p = a + b + c$

Herons formel: $T = \sqrt {p(p – a)(p – b)(p – c)}$.

Olikheten mellan aritmetiska och geometriska medelvärden ger:

$$\left( {xyz} \right)^{\frac{1}{3}} \le \frac{{x + y + z}}{3} \Leftrightarrow xyz \le \left( {\frac{{x + y + z}}{3}} \right)^3 $$

med likhet om och endast om $x = y = z$ (vilket bevisas nedan). Detta ger:

$T^2 = p(p – a)(p – b)(p – c) \le p\left( {\frac{{(p – a) + (p – b) + (p – c)}}{3}} \right)^3$ = $ p\left( {\frac{{3p – \left( {a + b + c} \right)}}{3}} \right)^3$ = $p\left( {\frac{{3p – 2p}}{3}} \right)^3 = \frac{{p^4 }}{{27}}$

med likhet om och endast om $p – a = p – b = p – c \Leftrightarrow a = b = c$

Maximal area är $\frac{{p^2 }}{{\sqrt {27} }}$, inträffar om triangeln är liksidig.

Tips till eleven:
Använd att

$2p = a + b + c$

Herons formel: $T = \sqrt {p(p – a)(p – b)(p – c)}$

Olikheten mellan aritmetiska och geometriska medelvärden:

$\left( {xyz} \right)^{\frac{1}{3}} \le \frac{{x + y + z}}{3} \Leftrightarrow xyz \le \left( {\frac{{x + y + z}}{3}} \right)^3 $ med likhet om och endast om $x = y = z$.

Bevis av ovanstående olikheten mellan aritmetikt och geometriskt medelvärde av tre positiva tal.

$$\left( {xyz} \right)^{\frac{1}{3}} \le \frac{{x + y + z}}{3} \Leftrightarrow xyz \le \left( {\frac{{x + y + z}}{3}} \right)^3 $$

för alla positiva tal x, y och z. Det gäller även att likhet råder om och endast om x = y = z. Man finner genom direkt uträkning att

$$x^3 + y^3 + z^3 – 3xyz = \left( {x + y + z} \right)\left( {\left( {x – y} \right)^2 + \left( {x – z} \right)^2 + \left( {y – z} \right)^2 } \right).$$

Detta innebär att $x^3 + y^3 + z^3 – 3xyz \ge 0$ för alla positiva tal x, y och z med likhet endast om

$$\left( {x – y} \right)^2 + \left( {x – z} \right)^2 + \left( {y – z} \right)^2 = 0 \Leftrightarrow x = y = z.$$

Vi får:

$$xyz \le \frac{{x^3 + y^3 + z^3 }}{3}.$$

Om vi nu ersätter x med $x^{\frac{1}{3}} $, y med $y^{\frac{1}{3}} $ och z med $z^{\frac{1}{3}} $ får vi $\left( {xyz} \right)^{\frac{1}{3}} \le \frac{{x + y + z}}{3}$ med likhet endast om x = y = z.