Handledning – Triangel Med Maximal Area

Emilia Ekstrand Handledning Ma2 20 februari, 2023 | 0

Förkunskaper: Herons formel samt olikheten mellan aritmetiska och geometriska medelvärden. Ma2.

Lösningsförslag inkl elevtips:
Vi tänker oss en triangel med sidlängderna a, b och c samt arean T.

Vi har att

$2p = a + b + c$

Herons formel: $T = \sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)}$ .

Olikheten mellan aritmetiska och geometriska medelvärden ger:

$\left( {xyz} \right)^{\frac{1}{3}} \le \frac{{x + y + z}}{3} \Leftrightarrow xyz \le \left( {\frac{{x + y + z}}{3}} \right)^3$

med likhet om och endast om $x = y = z$ (vilket bevisas nedan). Detta ger:

$T^2 = p(p - a)(p - b)(p - c) \le p\left( {\frac{{(p - a) + (p - b) + (p - c)}}{3}} \right)^3$ = $p\left( {\frac{{3p - \left( {a + b + c} \right)}}{3}} \right)^3$ = $p\left( {\frac{{3p - 2p}}{3}} \right)^3 = \frac{{p^4 }}{{27}}$

med likhet om och endast om $p - a = p - b = p - c \Leftrightarrow a = b = c$

Maximal area är $\frac{{p^2 }}{{\sqrt {27} }}$ , inträffar om triangeln är liksidig.

Tips till eleven:
Använd att

$2p = a + b + c$

Herons formel: $T = \sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)}$

Olikheten mellan aritmetiska och geometriska medelvärden:

$\left( {xyz} \right)^{\frac{1}{3}} \le \frac{{x + y + z}}{3} \Leftrightarrow xyz \le \left( {\frac{{x + y + z}}{3}} \right)^3$ med likhet om och endast om $x = y = z$ .

Bevis av ovanstående olikheten mellan aritmetikt och geometriskt medelvärde av tre positiva tal.

$\left( {xyz} \right)^{\frac{1}{3}} \le \frac{{x + y + z}}{3} \Leftrightarrow xyz \le \left( {\frac{{x + y + z}}{3}} \right)^3$

för alla positiva tal x, y och z. Det gäller även att likhet råder om och endast om x = y = z. Man finner genom direkt uträkning att

$x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = \left( {x + y + z} \right)\left( {\left( {x - y} \right)^2 + \left( {x - z} \right)^2 + \left( {y - z} \right)^2 } \right).$

Detta innebär att $x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz \ge 0$ för alla positiva tal x, y och z med likhet endast om

$\left( {x - y} \right)^2 + \left( {x - z} \right)^2 + \left( {y - z} \right)^2 = 0 \Leftrightarrow x = y = z.$

Vi får:

$xyz \le \frac{{x^3 + y^3 + z^3 }}{3}.$

Om vi nu ersätter x med $x^{\frac{1}{3}}$ , y med $y^{\frac{1}{3}}$ och z med $z^{\frac{1}{3}}$ får vi $\left( {xyz} \right)^{\frac{1}{3}} \le \frac{{x + y + z}}{3}$ med likhet endast om x = y = z.

Algebra Geometri

Handledning – Triangel Med Maximal Area

Handledning – Triangel Med Maximal Area

Kategori

Ämnesområde

Info

Material

Medverkande

MATTESHERPA