Handledning – Trigonometrisk Tredjegradsekvation

[latexpage]
Förkunskaper: Ma4
Syfte: Öva problemlösning med trigonometri och polynomekvationer.

Lösningsförslag inkl elevtips:
Svar: $210^o, 270^o, 330^o$

Steg 1:
Sätt $\sin x=z $. Då fås ekvationen $ 4z^3+12z^2+11z+3=0$.

Steg2:
Prövning ger att $z_1=-1$ är en rot.

Steg 3:
Faktorsatsen och polynomdivision ger att VL=$(z+1)(4z^2+8z+3)$

Steg 4:
Lös ekvationen $4z^2+8z+3=0$ dvs $z^2+2z+\frac 34=0$ som ger $z_2=-\frac 12$ och $z_3=-\frac 32$.

Steg 5:
Fall 1: $\sin x=z_1=-1$ ger $x=270^o (+n360^o)$.
Fall 2: $\sin x=z_2=-\frac 12$ ger {$x=-30^o (+n360^o)$ samt $x=180+30^o (+n360^o)$
Fall 3: $\sin x=z_3=-\frac 32$ är orimligt ty $|\sin x|\leq 1$.

Steg 6:
Vilkoret $0^o < x < 360^o$ ger svaret.