Handledning – Upptäck Mönster I En Trigonometrisk Ekvation

[latexpage]
Förkunskaper: Ma 3: geometrisk summa. Ma 4: trigonometriska identiteter, trigonometriska ekvationer
Syfte: att öva trigonometriska ekvationer

Lösningsförslag inkl elevtips:
Summorna i täjlaren respektiv i nämnaren i den givna ekvationen kan beräknas med hjälp av en formel för en geometrisk summa.

Den geometriska summan $ S_{n}= \frac{a_{1}(1 – k^{n})}{1 – k} $ kommer att närma sig $ \frac{a_{1}}{1-k} $ då $ n $ växer obegränsat och $ k $ till sitt absolutbelopp är mindre än 1.

$ \frac{\frac{1}{1+sinx}}{\frac{1}{1-sinx}}= \frac{1-cos2x}{1+cos2x} $, $ \frac{1-sinx}{1+sinx}= \frac{1-cos2x}{1+cos2x} $

$ \frac{1-sinx}{1+sinx}= \frac{1- (1- 2sin^{2}x)}{1 + (1-2sin^{2}x)} =\frac{2sin^{2}x}{2\cdot (1-sin^{2}x)}= \frac{sin^{2}x}{(1-sinx)(1+sinx)}$

$ 1-sinx = \frac{sin^{2}x}{1-sinx} $

$ (1-sinx)^{2}= sin^{2}x $

$ sinx = \frac{1}{2} $, $ x = (-1)^{n}\cdot \frac{\pi}{6}+ \pi\cdot n $, $ n $ är ett heltal.

Svar: $ x = (-1)^{n}\cdot \frac{\pi}{6}+ \pi\cdot n $ , $ n $ är ett heltal.

Tips till elever:
Med vilken regel kan man beräkna den oändliga summan av trigonometriska termer i täjlaren resp i nämnaren i det vänstra ledet i den givna ekvationen? Beräkna summorna och förenkla det vänstra ledet i ekvationen. Använd formler för ”dubbla vinkeln” i det högra ledet.

Faktorisera nämnaren i högra ledet och förenkla ekvationen. Du kommer till en grundekvation för sinus.