Handledning – XXX

[latexpage]

Förkunskaper: Ma2, Ma3
Sökord: Exponential, logaritm, olikhet, teknisk färdighet

Lösningsförslag inkl elevtips:
Svar: För $ 0<x<1 $ och $ 1<x<2 $.

Metod 1: HL = $ x^{x\cdot x} $

Alltså är uttrycket ekvivalent med

$ \hspace{40}x^{(x^x)}<x^{x^2} $.

Logaritmering ger

$ \hspace{40}x^x \ln x < x^2 \ln x $

ty $ \ln x $ växande, dvs

$ \hspace{40}(x^x-x^2)\ln x <0 $.

Fall 1:
Låt $ 0<x<1 $. Då är $ \ln x <0 $ så påståendet är sant om och endast om

$ x^x-x^2>0 $, dvs då $ x^x>x^2 $. Ännu en logaritmering ger att detta är ekvivalent med att

$ x\ln x>2\ln x $. dvs omm $ x<2 $ . Alltså är det sant för alla värden på $ x $ i detta fall.

Fall 2:
Låt $ 1<x $. Då är $ \ln x >0 $ så påståendet är ekvivalent med $ x^x<x^2 $. Logaritmering ger

$ x\ln x< 2\ln x $, vilket är sant omm $ x<2 $. Alltså är påståendet sant för alla x med $ 1<x<2 $.

Fall 3: $ x=1 $ ger likhet och ingår därmed inte i mängden.