Handledning – XXX

Handledning – XXX

Förkunskaper: Ma2, Ma3
Sökord: Exponential, logaritm, olikhet, teknisk färdighet

Lösningsförslag inkl elevtips:
Svar:
För 0<x<1 och 1<x<2.

Metod 1: HL = x^{x\cdot x}

Alltså är uttrycket ekvivalent med

\hspace{40}x^{(x^x)}<x^{x^2}.

Logaritmering ger

\hspace{40}x^x \ln x < x^2 \ln x

ty \ln x växande, dvs

\hspace{40}(x^x-x^2)\ln x <0.

Fall 1:
Låt 0<x<1. Då är \ln x <0 så påståendet är sant om och endast om

x^x-x^2>0, dvs då x^x>x^2. Ännu en logaritmering ger att detta är ekvivalent med att

x\ln x>2\ln x. dvs omm x<2 . Alltså är det sant för alla värden på x i detta fall.

Fall 2:
Låt 1<x. Då är \ln x >0 så påståendet är ekvivalent med x^x<x^2. Logaritmering ger

x\ln x< 2\ln x, vilket är sant omm x<2. Alltså är påståendet sant för alla x med 1<x<2.

Fall 3: x=1 ger likhet och ingår därmed inte i mängden.