Uppgift [latexpage]En pytagoreisk trippel är tre positiva heltal $a$,$b$ och $c$ där $ a^2+b^2=c^2.$ Exempel på sådana tripplar är $(3,4,5)$, $(5,12,13)$ och $(6,8,10)$. Din uppgift:i) Visa att det inte finns någon pytagoreisk trippel med tre udda tal.ii) Visa att minst ett tal i varje pytagoreisk trippel är delbart med fem.iii) Finns det fler tal än…
Läs mer
[latexpage]Förkunskaper: Trigonometriska funktioner, faktoruppdelning av polynom, derivata. Ma4Syfte: Att träna att tillämpa derivatan för att konstruera kurvor; dessutom träning att räkna med trigonometriska funktioner. Lösningsförslag inkl elevtips:Tips: observera att funktionen $ f(x)=sin(x)+\frac{1}{2}sin(2x)+\frac{1}{3}sin(3x) $ har perioden $ 2\pi $ och är udda ($ f(-x)=-f(x) $), det räcker alltså att konstruera kurvan för, säg, $ 0<x<\pi $;…
Läs mer
Förkunskaper: Ma2Syfte: Att kunna binda samman geometrin och algebran Lösningsförslag inkl elevtips:Från cirklarnas mittpunkt, dra två linjer vinkelrätt mot kvadratens två sidor. Därefter försök att bilda 8 lika stora rätvinkliga trianglar. Nästa steg:Summera upp trianglarnas area plus arean på de två mindre kvadtater.
[latexpage]Förkunskaper: Herons formel samt olikheten mellan aritmetiska och geometriska medelvärden. Ma2. Lösningsförslag inkl elevtips:Vi tänker oss en triangel med sidlängderna a, b och c samt arean T. Vi har att $2p = a + b + c$ Herons formel: $T = \sqrt {p(p – a)(p – b)(p – c)}$. Olikheten mellan aritmetiska och geometriska medelvärden…
Läs mer
[latexpage]Betrakta tredjegradsekvationen $ \lambda^3 – 2\lambda^2 +a\lambda + (1-a)=0 $ där $ a $ är ett reellt tal. i) Lös ekvationen för några olika värden på $ a $. ii) Visa att ekvationen har en positiv reell heltalsrot för alla värden på $ a $. iii) Låt lösningarna vara $ \lambda_1, \lambda_2 $} och {$…
Läs mer
[latexpage]Förkunskaper: Ma4, Ma5Syfte: Uppgiften ger eleven möjligheten att gissa en heltalslösning (ekvationen har roten $ \lambda=1, \forall a \in \mathbb{R} $) och sedan polynomdividera bort en faktor $ \lambda – 1 $. Lösningsförslag inkl elevtips:ii) När eleven kommit underfund med att $ \lambda = 1 $ för vilket $ a $ man än väljer, t.ex.…
Läs mer
[latexpage]Förkunskaper: Ma2, Ma3, 3-grad, ekvation, polynom, bevis, teknisk färdighet Lösningsförslag inkl elevtips: (a) Substitutionen $ x=t+k $ ger $$ t^3+(3k+a)t^2+(3k^2+2ak+b)t+k^3+ak^2+bk+c=0.$$ Välj $ k=-\frac a3 $ för att få koefficienten framför $ t^2 $ noll. Då blir konstanten och koefficienterna framför $ t $ $$p = b – \frac{a^2}{3}.$$ $$ q=\frac{2a^3}{27}-\frac{ab}{3}+c.$$ (b) Sätt $$ \left{ \begin{array}{l}…
Läs mer
[latexpage]Förkunskaper: Ma2Syfte: Träna funktionssymbolen f(x), göra en förenkling som påminner om den som förekommer i derivataräkning, lösa enkelt ekvationssystem, se en teleskoperande summa. Lösa ett relativt svårt problem med enkla verktyg. Lösningsförslag inkl elevtips:Tips: Betrakta tredjegradspolynomet $p(x) = x^3 + ax^2+bx+c$ och förenkla uttrycket $p(x+1)-p(x)$. Välj konstanterna a, b och c så att $p(x+1)-p(x) =…
Läs mer
[latexpage]Förkunskaper: Jämna och udda tal Lösningsförslag inkl elevtips:Lösningsförslag (skrivet för att inte kräva speciella förkunskaper) 1782 är jämnt vilket medför att även $ 1782^{12} $ är jämnt. På samma vis blir $ 1841^{12} $ udda. Summan av ett jämnt och ett udda tal är ett udda tal. Vänster led är alltså ett udda tal. I…
Läs mer
[latexpage]Förkunskaper: Inga särskilda förkunskaper krävs.Syfte: Introduktion till diofantiska ekvationer. Öva problemlösning. Lösningsförslag inkl elevtips:Alternativ 1: Elevtips: Följande strategi kan vara lämplig: Försök att hitta sju tal i rad som kan betalas, dvs sju tal i rad som kan skrivas som 7a+11b, där a och b är positiva heltal. Vad händer med det åttonde talet? Lösningsförslag:Svaret…
Läs mer
© 2021 MATTESHERPA. Byggt av Matematiska Vetenskaper
