Etikett: Trigonometri

[latexpage]Figuren visar en vinkel på 60º med fem inskrivna cirklar. Varje cirkel förutom den första tangerar den föregående cirkeln. Bestäm förhållandet mellan summan av areorna för de fem cirklarna och arean för den minsta cirkeln. Förkunskaper: Ma2: bisektris, area av en cirkel, trigonometri i rätvinkliga trianglar. För att lösa uppgiften med hjälp av begreppet ”geometrisk…
Läs mer

[latexpage]Förkunskaper: Ma4: trigonometriska olikheter, absolutbelopp.Syfte: att öva trigonometriska olikheter Lösningsförslag inkl elevtips:$ sin^{2}x > \frac{1}{4} $ kan skrivas om på formen $ |sin x | > \frac{1}{2} $ Den olikheten kan lösas grafiskt. Eftersom funktionen $ y = |sin x | $ är en periodisk funktion med perioden $ \pi $ anges $ x $…
Läs mer

[latexpage]Förkunskaper: Trigonometriska funktioner. Ma4. Syfte: Lösa en trigonometrisk ekvation, som leder till en diofantisk ekvation. Lösningsförslag inkl elevtips: a. Eftersom $\sin 3x \le 1$ och $\sin 7x \le 1$ är lösningarna till $\sin 3x + \sin 7x = 2$ de gemensamma lösningarna till $\sin 3x = 1$ och $\sin 7x = 1$. b. Lösningarna till…
Läs mer

[latexpage]Förkunskaper: Ma4, trigonometriska ekvationerSyfte: Att öva trigonometriska ekvationer Lösningsförslag inkl elevtips:En analys av ekvationen visar att $ (cos 6x – cos 4x)^{2} \leq 4 $ och $ 5 – sin 3x \geq 4 $ vilket innebär att ekvationen har lösningar om och endast om $ |cos 6x – cos 4x | = 2 $ och…
Läs mer

[latexpage]Förkunskaper: Ma4, grundläggande trigonometriSyfte: Bearbeta frågan om varför radianer finns som mått på vinklar och vad dess fördelar är. Lösningsförslag inklusive elevtips: Eftersom ett helt varv motsvarar 360° eller $2\pi$ radianer får vi att $$\displaystyle 225^o=\frac 54\pi \text{ radianer } =\frac 52^{\perp} \text{ eftersom } 225\frac{\pi}{180}=\frac 54\pi \text{ och } 225\frac{1}{90}=\frac 52.$$ I alla tre…
Läs mer

[latexpage]Förkunskaper: Ma3 för Metod 1: Sinussatsen, cosinussatsen. Ma4 för metod 2: Additionssatsen och subtraktionssatsen.Syfte: Öva triangelsatserna och trigonometriska formlerna. Lösningsförslag inkl elevtips:Metod 1 – med hjälp av sinussatsen och cosisnusatsen $\frac{\sin\alpha}{a\,}=\frac{\sin\beta}{b}=\frac{\sin\gamma}{c}=>\frac{\sin\gamma}{\sin\beta}=\frac{c}{b}$ $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos\alpha=>2\cos\alpha=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{bc}$ $\frac{c}{b}=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{bc}=>bc^{2}=b(b^{2}+c^{2}-a^{2})=>c^{2}=b^{2}+c^{2}-a^{2}=>$ $b^{2}=a^{2}=>b=a=>$ triangeln är likbent Metod 2 – med hjälp av triangelns vinklar och de trigonometriska formlerna $\sin\gamma=\sin(180-(\beta+\alpha))=\sin(\beta+\alpha)=\sin\beta\cdot\cos\alpha+\cos\beta\cdot\sin\alpha$ $2\sin\beta\cos\alpha=\sin\beta\cos\alpha+\cos\beta\sin\alpha=>\cos\beta\sin\alpha-\sin\beta\cos\alpha=0$ $\sin(\alpha-\beta)=0=>\alpha=\beta=>$ triangeln är likbent

[latexpage]Förkunskaper: Ma3 Lösningsförslag inkl elevtips:Svar: 60 (m) Steg 1: Rita figur med punkterna A,B,C och D. Inför beteckningar a=200 (m), b= 80 (m) och $\alpha=15,1^o, \beta = 31,3^o$. Steg 2: Sätt vinkeln $\angle ADB=\gamma$. Enligt yttervinkelsatsen är då $\gamma=\beta-\alpha=16,2^o$. Steg 3: Sinussatsen för triangeln ABD ger att $\displaystyle \frac{|BD|}{\sin\alpha}=\frac{a-b}{\sin\gamma}\Leftrightarrow |BD|=(a-b)\frac{\sin\alpha}{\sin\gamma}$, dvs $|BD|=120\frac{\sin 15,1^o}{\sin 16,2^o}\approx 112,0…
Läs mer

[latexpage]Förkunskaper: Ma4 (3)Syfte: Öva trigonometri. Generalisering av problem. Algebraisk hantering. Lösningsförslag inkl elevtips:Tips: Kolla gärna först AvståndTillHorisonten. Båglängd = radie ⋅ mittpunktsvinkel. Vi löser direkt det generella problemet. Den som önskar göra specialfallen först kan bara substituera värdena för variablerna. Låt som sagt båglängden mellan orterna vara ”b” och personens höjd över vattenytan (ögonen) ”h”.…
Läs mer