Handledning – Parameterpunkter

[latexpage]
Förkunskaper: Ma2 eller Ma4 beroende på lösningsmetod
Syfte: Introducera alternativt öva på parameterframställning. Öva derivata av sammansatt funktion alt söka minpunkter av kvadratuttryck.

Lösningsförslag inkl elevtips:
Elevtips till fråga 1: Teckna ett uttryck för avståndet (och derivera (Ma4)).
Elevtips till fråga 2: Vi sade att ”varje nytt värde på $ t $ ger en ny punkt på linjen”. Välj två värden på $ t $ så får du två punkter på linjen.

Lösningsförslag:

Fråga 1:
Avståndet $ s $ mellan punkterna som funktion av tiden $ t $ ges av Pythagoras sats (”avståndsformeln”):

$ s=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2} } =\sqrt{\frac{41t^{2}}{18}-24t+64}$.

Ma4 lösning:

$ \frac{ds}{dt}= \frac{(\frac{41t}{9}-24)}{2\sqrt{\frac{41t^{2}}{18}-24t+64}} $

som har det enda nollstället $ t=\frac{216}{41} =5,268…$.

Vill man analytiskt verifiera att detta ger ett minvärde, väljer man lämpligen ett teckenstudium, eftersom andraderivatan till denna funktion inte är så rolig. Men observera att punkterna rör sig längs två linjer som skär varandra. Detta betyder att avståndet mellan dem växer obegränsat då absolutbeloppet av $ t $ gör det. Alltså måste det vara en minpunkt.

Minimivärdet blir förstås

$ s_{min}=\sqrt{\frac{41\cdot216^{2}}{18\cdot41^{2}}-\frac{24\cdot216}{41}+64}= \frac{4\sqrt{82}}{41}=0,883…$ längdenheter.

Ma2 lösning:

En annan lösning är att inse att $ s >0 \Rightarrow s$ är minimal precis då $ s^{2}=\frac{41t^{2}}{18}-24t+64$ är minimal. I så fall anger symmetrilinjen där funktionen är minimal.

Vi använder pq-formeln för att hitta nollställena, så vi skriver först

$p = -\frac{24}{\frac{41}{18}} = -\frac{432}{41},$

$q = \frac{64}{\frac{41}{18}} = \frac{1152}{41}.$

Enligt pq-formeln blir nollställena

$t = \frac{432}{41 \cdot 2} \pm \sqrt{ (-\frac{432}{41 \cdot 2})^2 – \frac{1152}{41}.}$

Nollställena är ej reella, men deras medelvärde som anger var symmetrilinjen ligger är det:

$t_m = \frac{432}{41 \cdot 2} = \frac{216}{41}.$

Minimivärdet för $s$ hittas alltså där $t = \frac{216}{41}$, vilket blir

$ s_{min}=\sqrt{\frac{41\cdot216^{2}}{18\cdot41^{2}}-\frac{24\cdot216}{41}+64}= \frac{4\sqrt{82}}{41}=0,883…$ längdenheter.

Fråga 2:
För att finna linjernas ekvation på den efterfrågade formen, välj t.ex. $ t=0 $ respektive $ t=6 $ för att få två punkter på varje linje. Deras ekvationer blir förstås $ y=\frac{2}{3}x+1 $ respektive $ y=-x+4 $

Nästa steg:
Handledning – Ett gränsvärdesproblem för punkter i planet