Parameterpunkter

Samuel Bengmark Uppgift 17 november, 2021 | 0

Inledande teori

Som bekant är grafen till $y=x$ en rät linje genom origo. Detta är dock inte det enda sättet att beskriva linjen. Ett av de övriga är s.k. parameterform, vilket innebär att vi beskriver $x$ och $y$ som funktioner av en fri variabel (parameter) $t$ . Parametern $t$ måste inte nödvändigtvis stå för tiden, fast i denna övning gör den det. Om $t$ får variera fritt och anta alla reella värden (vilket i fortsättningen underförstås), så beskriver ekvationssystemet

$\left{\begin{cases} x=t\\ y=t \end{cases}\right.$

samma linje. Varje nytt värde på $t$ ger en ny punkt på linjen.

På samma sätt beskriver

$\left{\begin{cases} x=t\\ y=2t^{2} \end{cases}\right.$

parabeln $y=2x^{2}$ i $xy$ -planet. Varje nytt värde på $t$ ger en ny punkt på kurvan.

Uppgift

Nu till själva frågan. Två punkter rör sig i $xy$ -planet. Den första har läget

$\left{\begin{cases} x=-3+t\\ y=-1+\frac{2}{3}t \end{cases}\right.$

den andra har läget

$\left{\begin{cases} x=5-\frac{t}{2}\\ y=-1+\frac{t}{2} \end{cases}\right.$

vid tiden $t$ .

Bestäm det minsta avståndet mellan punkterna och den tidpunkt då detta inträffar. Verifiera att det är ett minimumavstånd, på valfritt sätt.
Båda punkterna rör sig utefter linjer. Bestäm ekvationerna för dessa linjer på formen $y=kx+m$ .

Parameterpunkter