Handledning – Delbart med 3

[latexpage]

Förkunskaper: Ma1, Enkel algebra och förståelse för delbarhet krävs. Med kunskaper i kongruensräkning kan man förenkla framställningen.

Syfte: Lära sig bevisföring.

Lösningsförslag inkl. elevtips
Låt talet $N$ vara den $n+1$-siffriga talet $N=a_{n}a_{n-1}\cdots a_1a_0$. I det decimala positionsystemet betyder detta att $$N=a_{n}10^{n}+a_{n-1}10^{n-1}+\cdots +a_1 10+a_0.$$

(a) Eftersom $$ \left{\begin{array}{c} 10=3\cdot 3+1\\ 100=3\cdot 33+1\\ 1000=3\cdot 333+1\\ \vdots \end{array} \right. $$ osv. ser man att varje 10 potens kan skrivas på formen $10^k=3 m_k+1$ för något $m_k$. Detta betyder att $$ \begin{array}{rl} N=&a_{n}10^{n}+a_{n-1}10^{n-1}+\cdots +a_1 10+a_0=\\ = & a_{n}(3m_{n}+1)+a_{n-1} (3m_{n-1}+1)+\cdots +a_1(3m_1+1)+a_0 \end{array} .$$ Samlar vi ihop alla termer som innehåller en 3:a får vi att $$N=3\cdot (a_{n} m_{n}+a_{n-1} m_{n-1}+.. +a_1 m_1)+a_{n}+a_{n-1}+.. +a_1 + a_0.$$ Slutsatsen blir att om siffersumman, $a_{n}+a_{n-1}+\cdots +a_1 + a_0$, är delbart med 3 kommer hela högerledet, och därmed $N$ vara delbart med 3. Omvänt om $N$ är delbart med 3 ser vi, genom att flytta över $3\cdot (a_{n}m_{n}+a_{n-1}m_{n-1}+\cdots +a_1m_1)$ till vänsterledet, att eftersom då hela vänsterledet är delbart med 3 måste även högerledet, dvs siffersumman $a_{n}+a_{n-1}+\cdots +a_1 + a_0$, vara det delbart med 3.

(b) Argumentet är det samma fast man utgår i från det faktum att $10=9+1$, $100= 9\cdot 11+1$ $1000=9\cdot111+1$ osv.

Nästa steg: Prova att finna och visa något liknande samband vid division med 11.