[latexpage] Förkunskaper: Ma1. Faktorsatsen. Syfte: Träna algebraisk räkning (polynomhantering). Lösningsförslag inkl. elevtipsMan vet att ett polynom med reella koefficienter kan skrivas som en produkt av polynom med reella koefficienter av grad högst 2, faktorerna är (”x” – ”a”) och (”x” – ”b”) då ”a”, ”b” är reella nollställen, resp. (”x” – (”α” + ”jβ”)) och…
Läs mer
[latexpage] Förkunskaper: Ma2 Syfte: Att lösa en s.k. diofantisk ekvation, använda begreppet delbarhet av hela tal. Lösningsförslag inkl. elevtipsMan inser att $\left( {n_0 ,m_0 } \right)$ = (2, 5) är en lösning. $\left( {2 + 3s,5 + 7s} \right)$ är lösningar för alla heltal s. Detta inser man genom insättning i ekvationen. Om (n, m)…
Läs mer
[latexpage] Förkunskaper: Ma1: det aritmetiska medelvärdet, det geometriska medelvärdet (överkurs). Syfte: Att förstärka förståelse för två olika slags medelvärden, att öva algebra. Lösningsförslag inkl. elevtipsVi använder sambandet mellan det aritmetiska och det geometriska medelvärdet tre gånger $ \frac{1}{2}(\frac{bc}{a}+ \frac{ac}{b})\geq \sqrt{\frac{bc}{a}\cdot \frac{ac}{b}}= c $. På samma sätt $ \frac{1}{2}(\frac{ac}{b}+ \frac{ab}{c})\geq a $ och $ \frac{1}{2}(\frac{ab}{c}+ \frac{bc}{a})\geq…
Läs mer
[latexpage] Förkunskaper: Ma1, Algebra Lösningsförslag inkl. elevtips Om $ (x,y) $ är en punkt på ellipsen så gäller enligt avståndsformeln att $ \sqrt{(x-c)^2+y^2}+\sqrt{(x+c)^2+y^2}=2a$ med $ a>c $. Överflyttning och kvadrering ger $ (x-c)^2+y^2=4a^2+(x+c)^2+y^2-4a\sqrt{(x+c)^2+y^2} $ där förenkling ger att $ a\sqrt{(x+c)^2+y^2}=a^2+xc $. Ytterligare kvadrering ger att $ a^2(x^2+2xc+c^2+y^2)=a^4+2a^2xc+x^2c^2 $ dvs $ (a^2-c^2)x^2+a^2y^2=(a^2-c^2)a^2 $. Resultatet fås genom…
Läs mer
[latexpage] Förkunskaper: Ma3 för första delen. Ma4 (kedjeregeln, andraderivata) för senare delen. Syfte: Teoretisera kring derivatan av polynomfunktioner. Introducera (?) begreppet inflexionspunkt. Öva bevisföring. Lösningsförslag inkl. elevtipsElevtips: Börja med att dra tangenten! Rita därefter en kurva som uppfyller kravet. Hur måste den se ut? Vad gäller för polynomfunktioner vars graf har detta utseende? Antag att…
Läs mer
[latexpage] Förkunskaper: Ma3 Syfte: Lösningsförslag inkl. elevtipsa) För cirkel $A(r) = \pi r^2 \Rightarrow A'(r) = 2 \pi r = O(r)$. För klot $V(r) = 4 \pi r^3/3 \Rightarrow V'(r) = 4 \pi r^2 = A(r)$. För kvadrat $A(s) = s^2 \Rightarrow A'(s) = 2s \neq 4s = O(s)$. b) Observera att $ A'(r) =…
Läs mer
[latexpage] Förkunskaper: Ma4, derivatan av en produkt. Eventuellt binomialutvecklingen och/eller induktion, beroende på vilken grad av lösning man vill lägga sig på. Syfte: Upptäcka mönster. Utveckla regler. Se skönheten i att fröken Diskret Matematik gör ett oväntat besök hos herr Analys. Lösningsförslag inkl. elevtipsElevtips: Jämför utseendet av andraderivatan med $ (a+b)^{2} $. De flesta gymnasieelever…
Läs mer
[latexpage] Förkunskaper: Matematik 4 (3). Trigonometri, areasatsen, randvinkelsatsen. Syfte: Beräkna längden av radien till den omskrivna cirkeln till en given triangel. Lösningsförslag inkl. elevtipsVi ritar triangeln och dess omskrivna cirkel. Bågvinkelsatsen ger att $\angle COB = 2 \cdot \angle A$, varför $\angle COT = \angle A$ Areasatsen ger: $T = \frac{ {bc\sin \alpha }}{2} \Leftrightarrow…
Läs mer
Uppgift Efter att ha skruvat ihop fyra förvaringslådor, som ska kunna dras ut under långsidan på vår dubbelsäng upptäcker jag till min irritation att sängen står för nära väggen. Lådan fastnar mot väggen halvvägs ner under sängen, när jag försöker skjuta in den från sidan. Sängen har fasta gavlar och mittbjälke, så det finns ingen…
Läs mer
[latexpage] Förkunskaper: Likformighet, (ev. ekvationssystem), grafisk/numerisk bestämning av funktionsmaximum/nollställe. Ma4. Syfte: Lösa ett problem ur verkligheten, med en lättare del (bestäm ”x”) och en svårare (bestäm ”y”). Lösningsförslag inkl. elevtipsTips: rita figur, använd likformighet för att bestämma ”x”. Teckna ett uttryck för ”y” och sök ”y”-max. Använd grafräknare om nödvändigt. Lösning: Notera att lådans botten…
Läs mer
© 2021 MATTESHERPA. Byggt av Matematiska Vetenskaper
