Handledning – Analys Av En Trigonometrisk Ekvation

[latexpage]
Förkunskaper: Ma4, trigonometriska ekvationer
Syfte: Att öva trigonometriska ekvationer

Lösningsförslag inkl elevtips:
En analys av ekvationen visar att $ (cos 6x – cos 4x)^{2} \leq 4 $ och $ 5 – sin 3x \geq 4 $ vilket innebär att ekvationen har lösningar om och endast om $ |cos 6x – cos 4x | = 2 $ och $ sin3x = 1 $ samtidigt.
Den sista sinus ekvationen har lösningarna $ x = \frac{\pi}{6}+ \frac{n\cdot 2\pi}{3}= \frac{\pi (4n +1)}{6}.$ I så fall är $ cos 6x = cos 6 \cdot\frac{\pi (4n + 1)}{6} = cos \pi(4n + 1) = -1 $ vilket medför att $ cos4x = 1 $.
$ cos4x = cos(\frac{2\pi(4n + 1)}{3}) $ vilket innebär att $ 4n + 1 $ skall vara delbart med faktorn $ 3 $. $ 4n +1 $ är delbart med faktorn $ 3 $ om och endast om $ n = 3k + 2 $ där $ k $ är ett heltal.

Svar : $ x = \frac{3\pi}{2}+ 2\pi k $, $ k $ är ett heltal.

Tips till elever:
Den här ekvationen kan man lösa på ett annat sätt än du kanske är van vid. Man behöver inte förenkla eller göra om ekvationen till en annan form. Undersök istället i vilka intervall värdet för $ (cos 6x – cos 4x)^{2} $ resp $ (5 – sin 3x) $ ligger. Då upptäcker du att det bara finns ett värde då VL = HL. Vilket?
Vad innebär det gemensamma värdet för värdet på $ sin 3x $? Vilka $ x $ är möjliga?
Fortsätt med VL. Beräkna $ cos 6x $ för de erhållna $ x $-värdena. Vad kan det vara för ett värde på $ cos 4x $? Vilka $ x $ är lösningar ?

Av Tatiana Kuzmina