Handledning – Analys Av En Trigonometrisk Ekvation

Emilia Ekstrand Handledning Ma4 16 februari, 2023 | 0

Förkunskaper: Ma4, trigonometriska ekvationer
Syfte: Att öva trigonometriska ekvationer

Lösningsförslag inkl elevtips:
En analys av ekvationen visar att $(cos 6x - cos 4x)^{2} \leq 4$ och $5 - sin 3x \geq 4$ vilket innebär att ekvationen har lösningar om och endast om $|cos 6x - cos 4x | = 2$ och $sin3x = 1$ samtidigt.
Den sista sinus ekvationen har lösningarna $x = \frac{\pi}{6}+ \frac{n\cdot 2\pi}{3}= \frac{\pi (4n +1)}{6}.$ I så fall är $cos 6x = cos 6 \cdot\frac{\pi (4n + 1)}{6} = cos \pi(4n + 1) = -1$ vilket medför att $cos4x = 1$ .
$cos4x = cos(\frac{2\pi(4n + 1)}{3})$ vilket innebär att $4n + 1$ skall vara delbart med faktorn $3$ . $4n +1$ är delbart med faktorn $3$ om och endast om $n = 3k + 2$ där $k$ är ett heltal.

Svar : $x = \frac{3\pi}{2}+ 2\pi k$ , $k$ är ett heltal.

Tips till elever:
Den här ekvationen kan man lösa på ett annat sätt än du kanske är van vid. Man behöver inte förenkla eller göra om ekvationen till en annan form. Undersök istället i vilka intervall värdet för $(cos 6x - cos 4x)^{2}$ resp $(5 - sin 3x)$ ligger. Då upptäcker du att det bara finns ett värde då VL = HL. Vilket?
Vad innebär det gemensamma värdet för värdet på $sin 3x$ ? Vilka $x$ är möjliga?
Fortsätt med VL. Beräkna $cos 6x$ för de erhållna $x$ -värdena. Vad kan det vara för ett värde på $cos 4x$ ? Vilka $x$ är lösningar ?

Av Tatiana Kuzmina

Trigonometri

Handledning – Analys Av En Trigonometrisk Ekvation

Handledning – Analys Av En Trigonometrisk Ekvation

Kategori

Ämnesområde

Info

Material

Medverkande

MATTESHERPA