Handledning – Inskriven Triangel Med Minimal Omkrets

[latexpage]
Förkunskaper: Geometri. Ma2.
Syfte: Arbeta med ett klassiskt geometriskt problem

Lösningsförslag inkl elevtips:
a. Spegla $P$ i $BC$ och $AC$. Kalla spegelbilderna $P´$ respektive $P´´$.

b. Eftersom $PQ = P´Q$ och $PR =P´´R$ följer att omkretsen av $PQR$ = längden av $P´Q+QR+RP´´$ vilken är $<= P´P´´$

c. Vi ser nu att för varje läge av $P$ på $AB$ får vi en triangel med minimal omkrets om vi låter $R$ och $Q$ ligga på $P´P´´$.

d. Vi ser nu att den enda möjligheten att hitta en triangel PQR med minimal omkrets är bland sådana där $R$ och $Q$ ligger på sträckan, mellan $P$:s spegelbilder, $P´P´´$. Det gäller nu att hitta det läge på $P$, vilket ger den triangel av dessa som har minimal omkrets.

e. Rita $P´C$, $PC$ och $CP´´$.

På grund av konstruktionen är $\angle P´´CP=2\angle C$ oberoende av läget av P. Dessutom är P´C = PC= CP´´. är således en likbent triangel, varför omkretsen av . Detta uttryck är minimalt om PC har minimal längd vilket inträffar om PC är vinkelrät mot AB.