Handledning – Medianerna I En Triangel

Emilia Ekstrand Handledning Ma2 17 februari, 2023 | 0

Förkunskaper: Geometri, Mittpunktsformeln, Medianer, Ma2

Lösningsförslag inkl elevtips:
Vi använder vektornotation och skriver exempelvis $\frac{{A + B + C}}{3}$ i stället för $\left( {\frac{{a_1 + b_1 + c_1 }}{3},\frac{{a_2 + b_2 + c_2 }}{3}} \right)$

Det är uppenbart att en median i $T_{n - 1}$ även är median i $T_n$ av vilket följer att medianerna till $T_0$ är medianer även till $T_n$ för alla n.

Det är uppenbart att det finns exakt en punkt, M, som ligger i alla $T_n$ och eftersom medianerna till $T_0$ alla har en punkt gemensam med alla $T_n$ måste alla medianerna gå genom M. De har alltså en gemensam skärningspunkt. Det är också uppenbart att $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } A_n = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } B_n = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } C_n = M$

Vi har att $A_n + B_n + C_n$ =

= $\frac{ {B_{n - 1} + C_{n - 1} } }{ 2 } + \frac{ {C_{n - 1} + A_{n - 1} } }{ 2 } + \frac{ {A_{n - 1} + B_{n - 1} } }{ 2 }$ =

= $A_{n - 1} + B_{n - 1} + C_{n - 1}$ = $\ldots = A_0 + B_0 + C_0$

Detta ger att:

$3M = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } A_n + \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } B_n + \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } C_n$

= $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {A_n + B_n + C_n } \right)$ = $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {A_0 + B_0 + C_0 } \right) = A_0 + B_0 + C_0$

$M = \frac{{A_0 + B_0 + C_0 }}{3} = \left( {\frac{{a_1 + b_1 + c_1 }}{3},\frac{{a_2 + b_2 + c_2 }}{3}} \right)$

QED

Tips till eleven:
Använd s.k. vektornotation. Vi ger ett exempel.
Låt A och B vara två punkter med koordinater (3, 4) resp. (7, 3).

$\frac{{2A + 3B}}{4}$ }betyder { $\left( {\frac{{2 \cdot 3 + 3 \cdot 7}}{4},\frac{{2 \cdot 4 + 3 \cdot 3}}{4}} \right) = \left( {\frac{{27}}{4},\frac{{17}}{4}} \right)$