Handledning – Medianerna I En Triangel

Handledning – Medianerna I En Triangel


Förkunskaper: Geometri, Mittpunktsformeln, Medianer, Ma2

Lösningsförslag inkl elevtips:
Vi använder vektornotation och skriver exempelvis \frac{{A + B + C}}{3} i stället för \left( {\frac{{a_1 + b_1 + c_1 }}{3},\frac{{a_2 + b_2 + c_2 }}{3}} \right)

Det är uppenbart att en median i T_{n - 1} även är median i T_n av vilket följer att medianerna till T_0 är medianer även till T_n för alla n.

Det är uppenbart att det finns exakt en punkt, M, som ligger i alla T_n och eftersom medianerna till T_0 alla har en punkt gemensam med alla T_n måste alla medianerna gå genom M. De har alltså en gemensam skärningspunkt. Det är också uppenbart att \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } A_n = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } B_n = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } C_n = M

Vi har att A_n + B_n + C_n=

= \frac{ {B_{n - 1} + C_{n - 1} } }{ 2 } + \frac{ {C_{n - 1} + A_{n - 1} } }{ 2 } + \frac{ {A_{n - 1} + B_{n - 1} } }{ 2 } =

= A_{n - 1} + B_{n - 1} + C_{n - 1} = \ldots = A_0 + B_0 + C_0

Detta ger att:

3M = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } A_n + \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } B_n + \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } C_n

= \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {A_n + B_n + C_n } \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {A_0 + B_0 + C_0 } \right) = A_0 + B_0 + C_0

M = \frac{{A_0 + B_0 + C_0 }}{3} = \left( {\frac{{a_1 + b_1 + c_1 }}{3},\frac{{a_2 + b_2 + c_2 }}{3}} \right)

QED

Tips till eleven:
Använd s.k. vektornotation. Vi ger ett exempel.
Låt A och B vara två punkter med koordinater (3, 4) resp. (7, 3).

\frac{{2A + 3B}}{4}}betyder {\left( {\frac{{2 \cdot 3 + 3 \cdot 7}}{4},\frac{{2 \cdot 4 + 3 \cdot 3}}{4}} \right) = \left( {\frac{{27}}{4},\frac{{17}}{4}} \right)

Inse att det finns exakt en punkt M, som ligger i alla T_n

Inse att A_n + B_n + C_n = A_{n - 1} + B_{n - 1} + C_{n - 1} = \ldots = A_0 + B_0 + C_0

Använd att

A_n = \frac{{B_{n - 1} + C_{n - 1} }}{2} o.s.v.