Handledning – Medianerna I En Triangel
[latexpage]
Förkunskaper: Geometri, Mittpunktsformeln, Medianer, Ma2
Lösningsförslag inkl elevtips:
Vi använder vektornotation och skriver exempelvis $\frac{{A + B + C}}{3}$ i stället för $\left( {\frac{{a_1 + b_1 + c_1 }}{3},\frac{{a_2 + b_2 + c_2 }}{3}} \right)$
Det är uppenbart att en median i $T_{n – 1} $ även är median i $T_n $ av vilket följer att medianerna till $T_0 $ är medianer även till $T_n $ för alla n.
Det är uppenbart att det finns exakt en punkt, M, som ligger i alla $T_n $ och eftersom medianerna till $T_0 $ alla har en punkt gemensam med alla $T_n $ måste alla medianerna gå genom M. De har alltså en gemensam skärningspunkt. Det är också uppenbart att $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } A_n = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } B_n = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } C_n = M$
Vi har att $A_n + B_n + C_n$=
= $\frac{ {B_{n – 1} + C_{n – 1} } }{ 2 } + \frac{ {C_{n – 1} + A_{n – 1} } }{ 2 } + \frac{ {A_{n – 1} + B_{n – 1} } }{ 2 }$ =
= $A_{n – 1} + B_{n – 1} + C_{n – 1}$ = $\ldots = A_0 + B_0 + C_0 $
Detta ger att:
$3M = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } A_n + \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } B_n + \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } C_n$
= $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {A_n + B_n + C_n } \right)$ = $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {A_0 + B_0 + C_0 } \right) = A_0 + B_0 + C_0 $
$M = \frac{{A_0 + B_0 + C_0 }}{3} = \left( {\frac{{a_1 + b_1 + c_1 }}{3},\frac{{a_2 + b_2 + c_2 }}{3}} \right)$
QED
Tips till eleven:
Använd s.k. vektornotation. Vi ger ett exempel.
Låt A och B vara två punkter med koordinater (3, 4) resp. (7, 3).
$\frac{{2A + 3B}}{4}$}betyder {$\left( {\frac{{2 \cdot 3 + 3 \cdot 7}}{4},\frac{{2 \cdot 4 + 3 \cdot 3}}{4}} \right) = \left( {\frac{{27}}{4},\frac{{17}}{4}} \right)$
Inse att det finns exakt en punkt M, som ligger i alla $T_n $
Inse att $A_n + B_n + C_n = A_{n – 1} + B_{n – 1} + C_{n – 1} = \ldots = A_0 + B_0 + C_0 $
Använd att
$A_n = \frac{{B_{n – 1} + C_{n – 1} }}{2}$ o.s.v.
