Handledning – Snöbollskast

[latexpage]
Förkunskaper: Ma4, trigonometriska ekvationer
Syfte: Öva problemlösning. ”Praktisk” tillämpning på trig ekvationer. Substitution.

Lösningsförslag inkl elevtips:
Elevtips 1: Uttryck y som funktion av x och bestäm $ \alpha $ så att ekvationen satisfieras. Den är exakt lösbar, även om inte vinklarna blir så jämna och fina.

Elevtips 2: Finns det mer än en lösning, kan han skjuta flackt och träffa näsan; kan han lobba och träffa hjässan?

Elevtips 3: Observera att $ x=ut\cos\alpha \Leftrightarrow t=\frac{x}{u\cos\alpha} $. Substituera för t i $ y=ut\sin\alpha-\frac{gt^{2}}{2} $, så får du en trigonometrisk ekvation.

Elevtips 4: Omskrivning med hjälp av trigonometriska ettan ger en andragradsekvation i $ \tan\alpha $ som kan lösas.

Lösningsförslag: Följer man elevtipsen ovan så får man ekvationen $ y=u\frac{x}{ucos\alpha}\sin\alpha-\frac{g}{2}\frac{x^{2}}{u^{2}\cos^{2}\alpha}$

som förenklas till

$ y=x\tan\alpha-\frac{g}{2}\frac{x^{2}}{u^{2}\cos^{2}\alpha}$

Nu multiplicerar vi andra termens täljare med $ 1=\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha $, vilket inte förändrar dess värde:

$ y=x\tan\alpha-\frac{gx^{2}}{2u^{2}}\frac{\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha }{\cos^{2}\alpha}=x\tan\alpha-\frac{gx^{2}}{2u^{2}}(\tan^{2}+1)$

För att träffa skall

$ \left{\begin{matrix} x=10\\ y=5 \end{matrix}\right. $

Dessutom var ju $ g=10 $ och $ u=20 $ och sätter vi in dessa värden får vi slutligen ekvationen (efter någon förenkling)

$ \frac{1000}{800}\tan^{2}\alpha-10\tan\alpha+\frac{1000}{800}+\frac{4000}{800}=0 $

som har lösningarna

$ \tan\alpha=4\pm\sqrt{11}$

Eftersom vinklarna måste vara mellan 0 och 90 grader, får vi de två lösningarna

$ \alpha_{1}=34^{o} $ (träff på näsan) och

$ \alpha_{1}=82^{o} $ (träff på hjässan)

om vi avrundar till hela grader.