Handledning – Summa Av Kvadrater

[latexpage]
Förkunskaper: Ma2
Syfte: Träna funktionssymbolen f(x), göra en förenkling som påminner om den som förekommer i derivataräkning, lösa enkelt ekvationssystem, se en teleskoperande summa. Lösa ett relativt svårt problem med enkla verktyg.

Lösningsförslag inkl elevtips:
Tips: Betrakta tredjegradspolynomet $p(x) = x^3 + ax^2+bx+c$ och förenkla uttrycket $p(x+1)-p(x)$. Välj konstanterna a, b och c så att $p(x+1)-p(x) = 3x^2$ och så att $p(1)=0$. Observera nu att

$p(2) = p(2)-p(1) = 3 \cdot 1^2 $

$p(3)-p(2)=3 \cdot 2^2$

$p(4)-p(3) = 3 \cdot 3^2$

osv

$p(101)-p(100) = 3 \cdot 100^2$

och i allmänhet

$ p(n+1)-p(n) = 3 \cdot n^2$

där kvadrattalen finns i högerleden. Summera dessa och undersök vad som blir kvar i vänsterledet.

Lösning: Vi väljer p som i tipset och får

$$p(x+1) – p(x) = (x+1)^3+a(x+1)^2+b(x+1)+c-x^3-ax^2-bx-c = 3x^2+(3+2a)x+a+b+1.$$

För att detta ska bli $3x^2$ och $p(1)=0$ väljer vi $a=-3/2, b=1/2$ och $c=0.$ Vi har nu

$$ p(n+1)-p(n) = 3 \cdot n^2$$

och

$$ 3(1^2+ \cdots + n^2) = (p(n+1)-p(n)) + (p(n) – p(n-1))+ \cdots + (p(2) – p(1)) = p(n+1).$$

Vi dividerar med 3 och får ett uttryck för summan av de n första kvadrattalen, nämligen

$$p(n+1)/3=(2(n+1)^3-3(n+1)^2 +(n+1))/6. $$

Detta uttryck kan faktoriseras som

$$n(n+1)(2n+1)/6.$$

Nästa steg:
Skulle du kunna använda samma teknik för att beräkna summan

$$S = 1^3 + 2^3 + 3^3 + \ldots + 100^3 = 1+8+27+\ldots + 1000000 ?$$