Uppgift En pytagoreisk trippel är tre positiva heltal , och där Exempel på sådana tripplar är , och . Din uppgift:i) Visa att det inte finns någon pytagoreisk trippel med tre udda tal.ii) Visa att minst ett tal i varje pytagoreisk trippel är delbart med fem.iii) Finns det fler tal än resp. som något tal…
Läs mer
Förkunskaper: Trigonometriska funktioner, faktoruppdelning av polynom, derivata. Ma4Syfte: Att träna att tillämpa derivatan för att konstruera kurvor; dessutom träning att räkna med trigonometriska funktioner. Lösningsförslag inkl elevtips:Tips: observera att funktionen har perioden och är udda (), det räcker alltså att konstruera kurvan för, säg, ; derivatan ger sedan information om var f är växande resp.…
Läs mer
Förkunskaper: Ma2Syfte: Att kunna binda samman geometrin och algebran Lösningsförslag inkl elevtips:Från cirklarnas mittpunkt, dra två linjer vinkelrätt mot kvadratens två sidor. Därefter försök att bilda 8 lika stora rätvinkliga trianglar. Nästa steg:Summera upp trianglarnas area plus arean på de två mindre kvadtater.
Förkunskaper: Herons formel samt olikheten mellan aritmetiska och geometriska medelvärden. Ma2. Lösningsförslag inkl elevtips:Vi tänker oss en triangel med sidlängderna a, b och c samt arean T. Vi har att Herons formel: . Olikheten mellan aritmetiska och geometriska medelvärden ger: med likhet om och endast om (vilket bevisas nedan). Detta ger: = =…
Läs mer
Betrakta tredjegradsekvationen där är ett reellt tal. i) Lös ekvationen för några olika värden på . ii) Visa att ekvationen har en positiv reell heltalsrot för alla värden på . iii) Låt lösningarna vara } och {. Beräkna och visa att denna summa är konstant för alla . iv) För vilka har ekvationen en dubbelrot?
Förkunskaper: Ma4, Ma5Syfte: Uppgiften ger eleven möjligheten att gissa en heltalslösning (ekvationen har roten ) och sedan polynomdividera bort en faktor . Lösningsförslag inkl elevtips:ii) När eleven kommit underfund med att för vilket man än väljer, t.ex. genom att inse att om blir Enligt restsatsen blir då resten 0 vid division med . Polynomdivision kan…
Läs mer
Förkunskaper: Ma2, Ma3, 3-grad, ekvation, polynom, bevis, teknisk färdighet Lösningsförslag inkl elevtips: (a) Substitutionen ger Välj för att få koefficienten framför noll. Då blir konstanten och koefficienterna framför (b) Sätt dvs skriv Bilda där och Alltså är där …
Läs mer
Förkunskaper: Ma2Syfte: Träna funktionssymbolen f(x), göra en förenkling som påminner om den som förekommer i derivataräkning, lösa enkelt ekvationssystem, se en teleskoperande summa. Lösa ett relativt svårt problem med enkla verktyg. Lösningsförslag inkl elevtips:Tips: Betrakta tredjegradspolynomet och förenkla uttrycket . Välj konstanterna a, b och c så att och så att . Observera nu att…
Läs mer
Förkunskaper: Jämna och udda tal Lösningsförslag inkl elevtips:Lösningsförslag (skrivet för att inte kräva speciella förkunskaper) 1782 är jämnt vilket medför att även är jämnt. På samma vis blir udda. Summan av ett jämnt och ett udda tal är ett udda tal. Vänster led är alltså ett udda tal. I höger led är 1922 jämnt, varför…
Läs mer
Förkunskaper: Inga särskilda förkunskaper krävs.Syfte: Introduktion till diofantiska ekvationer. Öva problemlösning. Lösningsförslag inkl elevtips:Alternativ 1: Elevtips: Följande strategi kan vara lämplig: Försök att hitta sju tal i rad som kan betalas, dvs sju tal i rad som kan skrivas som 7a+11b, där a och b är positiva heltal. Vad händer med det åttonde talet? Lösningsförslag:Svaret…
Läs mer
© 2021 MATTESHERPA. Byggt av Matematiska Vetenskaper
