Handledning – Tredjegradsekvation Med Heltalslösning

Handledning – Tredjegradsekvation Med Heltalslösning


Förkunskaper: Ma4, Ma5
Syfte: Uppgiften ger eleven möjligheten att gissa en heltalslösning (ekvationen har roten \lambda=1, \forall a \in \mathbb{R}) och sedan polynomdividera bort en faktor \lambda - 1.

Lösningsförslag inkl elevtips:
ii) När eleven kommit underfund med att \lambda = 1 för vilket a man än väljer, t.ex. genom att inse att om

f(\lambda )= \lambda^3 -2\lambda^2+a\lambda + (1-a)

blir

f(1)=1^3-2\cdot 1^2 + a +(1-a)=0

Enligt restsatsen blir då resten 0 vid division med \lambda - 1.

Polynomdivision kan utföras genom att man bryter ut faktorn \lambda - 1.

\lambda^3 -2\lambda^2+a\lambda + (1-a)

=\lambda^2(\lambda-1)-\lambda^2 +a\lambda + (1-a)

=\lambda^2(\lambda-1)-\lambda(\lambda-1)-\lambda +a\lambda + (1-a)

=\lambda^2(\lambda-1)-\lambda(\lambda-1)-(\lambda-1)(1-a)

=(\lambda^2-\lambda-(1-a))(\lambda-1)

När nollställena för detta uttryck söks inses att en rot alltid är \lambda_1 = 1, de övriga två erhålls genom att sätta

\lambda^2-\lambda-(1-a)=0

iii) Genom att känna till sambandet mellan summan av en andragradsekvations rötter och dess koefficienter inses här att summan av lösningarna till

\lambda^2-\lambda-(1-a)=0

är 1. Detta får till följd att summan av de tre rötterna alltid är

\lambda_1+(\lambda_2+\lambda_3)=1+1=2

iv) De gångerna man får en dubbelrot är då en av lösningarna till andragradsekvationen är 1, dvs. då a=1 eller då andragradsekvationen själv ger en dubbelrot, dvs. för a=5/4.

Nästa steg:
Eleven kan skapa egna ekvationer som är av liknande typ, dvs. en ekvation som alltid har lösningen x=x_0 för alla värden på en koefficient a.