Handledning – Tredjegradsekvation Med Heltalslösning

Emilia Ekstrand Handledning Ma4 Ma5 20 februari, 2023 | 0

Förkunskaper: Ma4, Ma5
Syfte: Uppgiften ger eleven möjligheten att gissa en heltalslösning (ekvationen har roten $\lambda=1, \forall a \in \mathbb{R}$ ) och sedan polynomdividera bort en faktor $\lambda - 1$ .

Lösningsförslag inkl elevtips:
ii) När eleven kommit underfund med att $\lambda = 1$ för vilket $a$ man än väljer, t.ex. genom att inse att om

$f(\lambda )= \lambda^3 -2\lambda^2+a\lambda + (1-a)$

blir

$f(1)=1^3-2\cdot 1^2 + a +(1-a)=0$

Enligt restsatsen blir då resten 0 vid division med $\lambda - 1$ .

Polynomdivision kan utföras genom att man bryter ut faktorn $\lambda - 1$ .

$\lambda^3 -2\lambda^2+a\lambda + (1-a)$

$=\lambda^2(\lambda-1)-\lambda^2 +a\lambda + (1-a)$

$=\lambda^2(\lambda-1)-\lambda(\lambda-1)-\lambda +a\lambda + (1-a)$

$=\lambda^2(\lambda-1)-\lambda(\lambda-1)-(\lambda-1)(1-a)$

$=(\lambda^2-\lambda-(1-a))(\lambda-1)$

När nollställena för detta uttryck söks inses att en rot alltid är $\lambda_1 = 1$ , de övriga två erhålls genom att sätta

$\lambda^2-\lambda-(1-a)=0$

iii) Genom att känna till sambandet mellan summan av en andragradsekvations rötter och dess koefficienter inses här att summan av lösningarna till

$\lambda^2-\lambda-(1-a)=0$

är 1. Detta får till följd att summan av de tre rötterna alltid är

$\lambda_1+(\lambda_2+\lambda_3)=1+1=2$

iv) De gångerna man får en dubbelrot är då en av lösningarna till andragradsekvationen är 1, dvs. då $a=1$ eller då andragradsekvationen själv ger en dubbelrot, dvs. för $a=5/4$ .

Nästa steg:
Eleven kan skapa egna ekvationer som är av liknande typ, dvs. en ekvation som alltid har lösningen $x=x_0$ för alla värden på en koefficient $a$ .

Algebra

Handledning – Tredjegradsekvation Med Heltalslösning

Handledning – Tredjegradsekvation Med Heltalslösning

Kategori

Ämnesområde

Info

Material

Medverkande

MATTESHERPA