Handledning – Tredjegradsekvation Med Heltalslösning
Förkunskaper: Ma4, Ma5
Syfte: Uppgiften ger eleven möjligheten att gissa en heltalslösning (ekvationen har roten ) och sedan polynomdividera bort en faktor
.
Lösningsförslag inkl elevtips:
ii) När eleven kommit underfund med att för vilket
man än väljer, t.ex. genom att inse att om
blir
Enligt restsatsen blir då resten 0 vid division med .
Polynomdivision kan utföras genom att man bryter ut faktorn .
När nollställena för detta uttryck söks inses att en rot alltid är , de övriga två erhålls genom att sätta
iii) Genom att känna till sambandet mellan summan av en andragradsekvations rötter och dess koefficienter inses här att summan av lösningarna till
är 1. Detta får till följd att summan av de tre rötterna alltid är
iv) De gångerna man får en dubbelrot är då en av lösningarna till andragradsekvationen är 1, dvs. då eller då andragradsekvationen själv ger en dubbelrot, dvs. för
.
Nästa steg:
Eleven kan skapa egna ekvationer som är av liknande typ, dvs. en ekvation som alltid har lösningen för alla värden på en koefficient
.