Handledning – Tangent-Normal 4

[latexpage]
Förkunskaper: Ma4

Lösningsförslag inkl elevtips:
Ellipsens ekvation är $ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 $ dvs $ b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2 $. Med implicit derivering (dvs antag att $ y=y(x) $ och derivera m.a.p. x) fås $ b^22x+a^22yy'(x)=0 $ varav följer att $ y’=-\frac{b^2}{a^2}\frac{x}{y} $.

Antag att $ P=(x_0,y_0) $ med $ x_0>0, y_0>0 $. Då är tangentens riktningskoefficienten $ k_t=-\frac{b^2}{a^2}\frac{x_0}{y_0} $ och normalens riktningskoefficient $ k_n=\frac{a^2}{b^2}\frac{y_0}{x_0} $.

Tangent : $ y-y_0=-\frac{b^2}{a^2}\frac{x_0}{y_0}(x-x_0) $. Skärning med x-axeln : Sätt $ y=0 $. Då fås

$ x=x_0+\frac{a^2}{b^2}\frac{y_0^2}{x_0}=\frac{b^2x_0^2+a^2y_0^2}{b^2x_0}=\frac{a^2b^2}{b^2x_0}=\frac{a^2}{x_0} $

(med ellipsens ekvation), dvs $ Q $ har koordinaterna $ (x,y)=(\frac{a^2}{x_0},0) $ och avståndet $ |OQ|=\frac{a^2}{|x_0|}=\frac{a^2}{x_0} $ om $ x_0>0 $.

Vidare har vi normalen : $ y-y_0=\frac{a^2}{b^2}\frac{y_0}{x_0}(x-x_0) $. Skärning med x-axeln : Sätt $ y=0 $. Då fås

$ x=x_0-\frac{x_0b^2}{a^2}=\frac{x_0}{a^2}(a^2-b^2)$

och avståndet $ |OR|=|\frac{x_0}{a^2}(a^2-b^2)|=\frac{x_0}{a^2}(a^2-b^2)$ om $ x_0>0 $ och $ a>b>0 $.

Sökt: $ |OQ||OR|= \frac{a^2}{x_0}\frac{x_0}{a^2}(a^2-b^2)=(a^2-b^2)$ där $ a^2-b^2>0 $ om $ a>b>0 $.