Handledning – Fyra Cirklar I Cirkel

[latexpage]
Förkunskaper: Bara enkel geometeri (Pytagoras sats). Ma1. Ma2.

Lösningsförslag inkl elevtips:

Beteckningar: O är den stora cirkelns medelpunkt, A, B är medelpunkterna till de två mindre cirklarna, den sökta cirkelns medelpunkt är M och dess radie r (se figur).

O är mittpunkten av sträckan AB, M ligger på normalen till AB genom O, för den rätvinkliga triangeln AOM gäller (Pytagoras):

$|AM|^2 = |AO|^2 + |OM|^2$, alltså
$ (r+a)^2=a^2+(2a-r)^2 $ och det ger
$ r^2+a^2+2ar=a^2+4a^2+r^2-4ar $
alltså $ 6ar=4a^2 $ och därmed
$ r=\frac{2a}{r} $.

Den stora cirkeln har arean $A_{stor}=(2a)^2\pi$, de fyra mindre cirklarna har arean $ A_{mindre}=2(r^2\pi+a^2\pi)=2\pi(\frac{26\pi a^2}{9}) $ alltså $ \frac{A_{mindre}}{A_{stor}}=\frac{26}{9\cdot 4}=\frac{13}{18} $. [Restmängden har arean $ 4a^2\pi-\frac{26\pi a^2}{9}=\frac{10\pi a^2}{9} $, men det behövs ej].

Svar: De sökta cirklarna har radien $r=\frac{2a}{3}$, deras medelpunkter ligger på normalen till AB genom O på avståndet $2a-r=\frac{4a}{3}=2r$ från O ( = OM diametern av den sökta cirkeln). De fyra mindre cirkelskivorna utgör 13/18 (cirka 72%) av den stora cirkelskivans area, restmängden utgör 5/18 (≈ 28%); arean av restmängden är 5/13 (cirka 38.5%) av arean av de mindre cirkelskivorna. [De fyra mindre cirkelskivorna täcker nästan ¾ av den stora cirkelskivan].