Handledning – Fyra Cirklar I Cirkel

Emilia Ekstrand Handledning Ma1 Ma2 16 februari, 2023 | 0

Förkunskaper: Bara enkel geometeri (Pytagoras sats). Ma1. Ma2.

Lösningsförslag inkl elevtips:

Beteckningar: O är den stora cirkelns medelpunkt, A, B är medelpunkterna till de två mindre cirklarna, den sökta cirkelns medelpunkt är M och dess radie r (se figur).

O är mittpunkten av sträckan AB, M ligger på normalen till AB genom O, för den rätvinkliga triangeln AOM gäller (Pytagoras):

$|AM|^2 = |AO|^2 + |OM|^2$ , alltså
$(r+a)^2=a^2+(2a-r)^2$ och det ger
$r^2+a^2+2ar=a^2+4a^2+r^2-4ar$
alltså $6ar=4a^2$ och därmed
$r=\frac{2a}{r}$ .

Den stora cirkeln har arean $A_{stor}=(2a)^2\pi$ , de fyra mindre cirklarna har arean $A_{mindre}=2(r^2\pi+a^2\pi)=2\pi(\frac{26\pi a^2}{9})$ alltså $\frac{A_{mindre}}{A_{stor}}=\frac{26}{9\cdot 4}=\frac{13}{18}$ . [Restmängden har arean $4a^2\pi-\frac{26\pi a^2}{9}=\frac{10\pi a^2}{9}$ , men det behövs ej].

Svar: De sökta cirklarna har radien $r=\frac{2a}{3}$ , deras medelpunkter ligger på normalen till AB genom O på avståndet $2a-r=\frac{4a}{3}=2r$ från O ( = OM diametern av den sökta cirkeln). De fyra mindre cirkelskivorna utgör 13/18 (cirka 72%) av den stora cirkelskivans area, restmängden utgör 5/18 (≈ 28%); arean av restmängden är 5/13 (cirka 38.5%) av arean av de mindre cirkelskivorna. [De fyra mindre cirkelskivorna täcker nästan ¾ av den stora cirkelskivan].

Geometri

Handledning – Fyra Cirklar I Cirkel

Handledning – Fyra Cirklar I Cirkel

Kategori

Ämnesområde

Info

Material

Medverkande

MATTESHERPA