Handledning – Rationell Trigonometri

Emilia Ekstrand Handledning 16 februari, 2023 | 0

Förkunskaper: Ma3, trigonometri
Syfte: Introducera ett alternativt sätt att definiera trigonometriska funktioner.

Lösningsförslag inklusive elevtips:
1. Man får att

$\displaystyle Q(p,q)=\sqrt{ (a-c)^2+(b-d)^2 }^2 =( a-c)^2+(b-d)^2.$

Man kallar detta sträckans kvadrans.

2. Vi får kongruenta trianglar oberoned var vi lägger den ortogonala linjen eftersom två av vinklarna är de samma.

För två kongruenta trianglar $\triangle$ ABC och $\triangle$ abc gäller att kvoter mellan två sidor är lika dvs tex

$\frac{|AB|}{|BC|}=\frac{ab}{bc}$

Eftersom s(l,L) är kvadraten på en sådan kvot är den oberoende av var den läggs. Man kallar s(l,L) spridningen mellan linjerna.

3. Svar $0, \frac 14, \frac 34$ och 1 eftersom tex $\sin^2(60^{\circ})=(\frac{\sqrt 3}{2})^2=\frac 34$ .

4. Betrakta linjerna l’ och L’ givna av ekvationerna ax+by=0 och Ax+By=0. Vi har då att s(l’,L’)=s(l.L) eftersom l’ och L’ bara är parallellförflyttningar av l respektive L. En linje ortogonal mot linjen Ax+By=0 har ekvationen Bx-Ay=K för något K. Väljer att linjen skall skära L’ i punkten $p=(B,-A)$ . Får då att $K=B^2+A^2$ , dvs den ortogonala linjen M har ekvationen $Bx-Ay=A^2+B^2$ .

Söker nu Ms skärningspunkt med l’, löser därför ekvationssystemet

$\left{ \begin{array}{l} ax+by=0\\ Bx-Ay=A^2+B^2\end{array}\right.$

Får då att skärningspunkten q har koordinater

$\displaystyle \left{ \begin{array}{l} x=b\frac{A^2+B^2}{aA+bB}\\ y=-a\frac{A^2+B^2}{aA+bB}\end{array}\right.$

Finner då att

$\begin{array}{l} Q(p,q) = ( B-b \frac{ A^2+B^2 }{ aA+bB })^2+(-A+a\frac{ A^2+B^2 }{ aA+bB })^2= \\ = \frac{ (B(aA+bB)-b(A^2+B^2))^2+(-A(aA+bB)+a(A^2+B^2))^2 }{ (aA+bB)^2 } = \\ {} = \frac{ (A(aB-bA))^2+(B(aB-bA))^2 }{ (aA+bB)^2 } = \\ {} = \frac{(A^2+B^2)(aB-bA)^2}{(aA+bB)^2} \end{array}$

Låt O beteckna origo, då får vi att

$Q(O,q)=(b\frac{A^2+B^2}{aA+bB})^2+(-a\frac{A^2+B^2}{aA+bB})^2=\frac{ (a^2+b^2)(A^2+B^2) }{ (aA+bB)^2 }$

vilket ger att

$s(l,L)=\frac{ Q(p,q) }{ Q(O,q) }=\frac{ \frac{ (A^2+B^2)(aB-bA)^2 }{ (aA+bB)^2} }{ \frac{ (a^2+b^2)(A^2+B^2) }{ (aA+bB)^2 } }= \frac{ (aB-bA)^2 }{ (a^2+b^2)(A^2+B^2) }$