Handledning – En Faktoriseringsuppgift
[latexpage]
Förkunskaper: Ma1. Faktorsatsen.
Syfte: Träna algebraisk räkning (polynomhantering).
Lösningsförslag inkl. elevtips
Man vet att ett polynom med reella koefficienter kan skrivas som en produkt av polynom med reella koefficienter av grad högst 2, faktorerna är (”x” – ”a”) och (”x” – ”b”) då ”a”, ”b” är reella nollställen, resp.
(”x” – (”α” + ”jβ”)) och (”x” – (”α” – ”jβ”)) då ”α” + ”jβ” (och därmed (”α” – ”jβ”)) är ett komplext nollställe.
För att hitta faktoruppdelningen kan man alltså försöka att hitta (även de komplexa) rötterna eller göra en lämplig ansättning: T. ex. kan $x^4 + 4$ skrivas $x^4 + 4 = (x^2 + 2j)(x^2 – 2j)$ ; om du kan rötterna till $x^2 + 2j = 0$ (1-j och -1+j) och till $x^2 – 2j = 0$ (1+j och -1-j) så har du faktoruppdelningen
$ x^{4}+4=(x-1+j)(x+1-j)(x-1-j)(x+1+j)= $ $ (x-1+j)(x-1-j)(x+1-j)(x+1+j)= $ $ =((x-1)^{2}+1)(x+1)^{2}+1) $.
Det tipsar om en lösning utan omvägen över komplexa rötter genom ”’ansättning”’: $ \text{ansätt } x^{4}+4=((x+a)^{2}+b)((x-a)^{2}+b)= $
$ =(x^{2}+a^{2}+b+2ax)(x^{2}+a^{2}+b-2ax)= $
$ =x^{4}+2(a^{2}+b)x^{2}+(a^{2}+b^{2})^{2}-4a^{2}x^{2}. $
Det leder till ekvationsystemet (jämför koeifficienterna) $ 2(a^{2}+b)=4a^{2} \text{ och } (a^{2}+b^{2})^{2}=4\text{, alltså } $ $ 0 < a^{2}+b=2 \text{ och därmed } $ $ a=1\text{, }b=1 \text{ eller } a=-1\text{, }b=1\text{ och } $ $ x^{4}+4=((x-1)^{2}+1)(x+1)^{2}+1)\text{ som ovan.} $
Eller (enklare?) ansätt
$ x^{4}+4=(x^{2}+A+Bx)(x^{2}+A-Bx)=x^{4}+2Ax^{2}+A^{2}-B^{2}x^{2}, $
det ger $ A^{2}=4\text{ och } B^{2}=2A\text{ alltså } 0 < A\text{ och }B=\pm 2\text{, alltså} $ $ x^{4}+4=(x^{2}+2x+2)(x^{2}-2x+2). $.
Eller ansätt (utan några förhandtips)
$ x^{4}+4=(x^{2}+ax+b)(x^{2}+cx+d)=[\text{ chansa med }b=d=\sqrt{4}]= $ $ =(x^{2}+ax+2)(x^{2}+cx+2)=x^{4}+(a+c)x^{3}+2(a+c)x+4\text{,} $
det ger igen $ a=-c\text{ och }-ac=a^{2}=4\text{, alltså }a=2\text{, }b=-2\text{ eller }a=-2\text{, }b=2. $.
Analogt löses de två andra uppgifterna:
$ \text{Ansättningen }x^{4}+1=(x^{2}+A+Bx)(x^{2}+A-Bx)\text{ ger } $ $ A^{2}=1\text{, }B^{2}=2A\text{ alltså } A=1 (A>0)\text{ och därmed } B=\pm\sqrt{2}\text{, alltså} $ $ x^{4}+1 = (x^{2}+\sqrt{2}x+1)(x^{2}-\sqrt{2}x+1). $
$ \text{Ansättningen }x^{4}+16=(x^{2}+A+Bx)(x^{2}+A-Bx)\text{ ger } $ $ A^{2}=16\text{, }B^{2}=2A\text{ alltså } A=4 (A>0)\text{, } B=2\sqrt{2}\text{, alltså} $ $ x^{4}+16 = (x^{2}+2\sqrt{2}x+1)(x^{2}-2\sqrt{2}x+1). $
Svar:
$ x^{4}+4=((x-1)^{2}+1)(x+1)^{2}+1), $
$ x^{4}+1 = (x^{2}+\sqrt{2}x+1)(x^{2}-\sqrt{2}x+1), $
$ x^{4}+16 = (x^{2}+2\sqrt{2}x+1)(x^{2}-2\sqrt{2}x+1). $
