Handledning – Lika Areor Med Exponentialfunktionen

Emilia Ekstrand Handledning Ma3 17 februari, 2023 | 0

Förkunskaper: Exponentialfunktionen; att kunna integrera; bestämd integral = area; Ma3
Syfte: Att förstå en något abstrakt text (definition av en funktion), kunna “se” (rita) givna områden och beräkna arean av en punktmängd mellan ”x”-axeln och en kurva; dessutom att kunna hantera “krångliga” uttryck, räkna med exponentialfunktionen. Vidare en bra gränsvärdesuppgift (derivata, kontinuitet).

Lösningsförslag inkl elevtips:
Rita för något a (t.ex. för $a=4$ eller för $a=\frac{1}{4}$ ) kurvorna $y=ae^{x}$ och $y=e^{ax}$ . Beräkna deras skärningspunkt $x_0$ . Observera att kurvorna är jämna, det räker alltså att räkna enbart i högra halvplanet. Vi ritar områdena för a = 4 (rött) och för a = 1/4 (blått):

Arean av det begränsade området mellan kurvorna är då
Fall 1: om 0<a<1 (då är $ae^{x} \leq e^{ax}$ för $0 \leq x \leq x_{0}$ ): $F(a)=2\int_{0}^{x_{0}}(e^{ax}-ae^{x})dx$

Fall 2: om 1<a (då är $e^{ax} \leq ae^{x}$ för $0 \leq x \leq x_{0}$ }): { $F(a)=2\int_{0}^{x_{0}}(ae^{x}-e^{ax})dx$ .

Räkningarna:
Skärningspunkten:
$e^{ax}=ae^{x}\Leftrightarrow ax= lna+lne^{x} \Leftrightarrow (a-1)x=lna\Leftrightarrow x=\frac{lna}{a-1}$ . Sätt $x_{0}=\frac{lna}{a-1}$ .

Fall 1: $F(a)= 2\int_{0}^{x_{0}}(e^{ax}-ae^{x})dx =2\left[\frac{1}{a}e^{ax}-ae^{x}\right] {0}^{x{0}}=$ $2(\frac{1}{a}e^{ax_{0}}-ae^{x_{0}}+a-\frac{1}{a})$

$=2(\frac{1}{a}e^{\frac{alna}{a-1}}-ae^{\frac{lna}{a-1}}+a-\frac{1}{a})=2(\frac{1}{a}a^{\frac{a}{a-1}}-aa^{\frac{1}{a-1}}+a-\frac{1}{a})=$

$=2(a^{\frac{1}{a-1}}-a^{\frac{a}{a-1}}+a-\frac{1}{a})$ [ty $e^{blna}=a^{b}$ ].

Fall 2: ( $a>1$ ): $F(a)= 2\int_{0}^{x_{0}}(ae^{x}-e^{ax})dx =2\left[-\frac{1}{a}e^{ax}+ae^{x}\right] {0}^{x{0}}=$ $2( -a^{\frac{1}{a-1}}+a^{\frac{a}{a-1}}-a+\frac{1}{a})$

[som fall1 men *(-1)].

Om nu $0<a<1$ , så är $b=\frac{1}{a}>1$ och

$F(\frac{1}{a})=F(b)=2(-b^{\frac{1}{b-1}}+b^{\frac{b}{b-1}}-b+\frac{1}{b}) =$

$= 2(-(\frac{1}{a})^{\frac{1}{\frac{1}{a}-1}}+(\frac{1}{a})^{\frac{\frac{1}{a}}{\frac{1}{a}-1}}-\frac{1}{a}+a)=$

$=2(-a^{\frac{a}{a-1}}+a^{\frac{1}{a-1}}-\frac{1}{a}+a)=F(a)$ vsb

Nästa steg:
Visa att

$F(x) =\left{\begin{array}{c}2(x^{\frac{1}{x-1}}-x^{\frac{x}{x-1}}+x-\frac{1}{x})\text{, då }x<1 \0\text{, då }x=1 \-2(x^{\frac{1}{x-1}}-x^{\frac{x}{x-1}}+x-\frac{1}{x})\text{, då \ }x>1\end{array}\right.$