Handledning – Konstruera En Triangel

[latexpage]
Förkunskaper: Ma4
Syfte: att få insikt i geometriska konstruktioner.

Lösningsförslag inkl elevtips:
a) Algebraisk lösning

Arean av triangeln $ ACD $ är lika stor som arean av triangeln $ ABD $. Areasatsen ger ekvationen

$$\frac{1}{2}\cdot AC \cdot AD \sin2a=\frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD \cdot \sin a $$

Ekvationen ger

$$ \cos a = \frac{AB}{2 AC}.$$

Eftersom vinkeln $ a $ ligger i intervallet

$$ 0< a < \frac{\pi}{3} $$

har problemet lösningen om

$$ 1< AB/AC < 2 .$$

b) Geometrisk lösning.

Spegla punkten $ C $ i $ AD $. Medianen $ AD $ delar två sidor i triangeln $ BCE $ i samma förhållande vilket innebär att linjerna $ AD $ och $ BE$ är parallella.

Vinkeln $ ABE $ = vinkeln $ DAB $ = vinkeln $ EAB $ d.v.s. triangeln $ ABE $ är en likbent triangeln, $ BE = EA = AC $.

Vi konstruerar triangeln $ ABE $ (alla sidorna är kända), drar från punkten $ A $ en linje parallell med $ BE $, speglar punkten $ E$ i linjen $ AD $ och får punkten $ C $.

Tips till elever:
Spegla punkten $ C $ i $ AD $. Motivera att linjerna $ AD$ och $ BE$ är parallella. Vilken slags triangel är triangeln $ ABE $? Hur stor är vinkeln $ EAB $ och vinkeln $ ABE $ ? Finns det någon triangel som du kan konstruera med dessa två givna sidor? Skulle du kunna bestämma ett läge för punkten $ C $?