Handledning – Tornet i Jönköping
[latexpage]
Förkunskaper: Ma4 (3)
Syfte: Öva trigonometri. Generalisering av problem. Algebraisk hantering.
Lösningsförslag inkl elevtips:
Tips: Kolla gärna först AvståndTillHorisonten. Båglängd = radie ⋅ mittpunktsvinkel.
Vi löser direkt det generella problemet. Den som önskar göra specialfallen först kan bara substituera värdena för variablerna.
Låt som sagt båglängden mellan orterna vara ”b” och personens höjd över vattenytan (ögonen) ”h”. Antag att tornets höjd är ”H”, samt att jordradien är ”R”.
Drag tre jordradier, till Askersund, den punkt där siktlinjen tangerar vattenytan, samt till Jönköping. Vi får två medelpunktsvinklar, kalla dem från vänster $ \alpha $ och $ \beta $, sådana att $(\alpha+\beta)=\frac{b}{R}$. Vi har nu
- $ \beta=\frac{b}{R}-\alpha$
- $ cos\alpha=\frac{R}{R+h} $
- $ cos\beta=\frac{R}{R+H} $
Löser vi ut ”H” ur det tredje sambandet får vi
$ H=R(\frac{1}{cos\beta}-1) $
Använder vi sedan det första och det andra sambandet kan vi uttrycka
$ \beta=\frac{b}{R}-arccos(\frac{R}{R+h}) $
Tornets höjd blir således
$$ H=R(\frac{1}{cos(\frac{b}{R}-arccos(\frac{R}{R+h}))}-1) $$
vilket givetvis även kan uttryckas på andra sätt. Jag har dock valt den lösning som är mest ”rakt på”, enligt min uppfattning, och nöjt mig med det första explicita uttryck som dyker upp.
Nästa steg:
Diskutera definitions- och värdemängder för det slutgiltiga uttrycket. Diskutera gränsvärden; det är ett mycket påtagligt exempel! Utveckla problemet? Om du börjar gå baklänges norrut med hastigheten ”v”, med vilken hastighet måste då byggarbetarna i Jönköping bygga nya våningar, för att du fortfarande skall se tornet?
