Handledning – Felaktig Deriveringsregel

Handledning – Felaktig Deriveringsregel


Förkunskaper: Framförallt Ma4. Ma5 (differentialekvationer) för en av lösningarna till d).
Syfte: Träna deriveringsregler

Lösningsförslag inkl elevtips:
a) Låt f(x)=g(x)=x. Då är (f(x)\cdot g(x))' = 2x men f'(x) = g'(x) = 1f'(x) \cdot g'(x) = 1.

b) Låt f(x) vara ett polynom av grad n>0 och g(x) ett polynom av grad m>0. Då har (f(x) \cdot g(x))' graden n+m-1 medan f'(x) \cdot g'(x) har graden n+m-2.

c) Med f(x) = g(x) = e^{2x} fås f'(x) = g'(x) = 2e^{2x}f'(x) \cdot g'(x) = 4 e^{4x} medan f(x) \cdot g(x) = e^{4x}(f(x) \cdot g(x))' = 4 e^{4x}.

d)
Ma5: Låt alltså f(x) = g(x). Vill vill då undersöka om (f(x)^2)' = 2 f(x)f'(x) kan fås identiskt lika med f'(x)f'(x). Om vi förutsätter att f'(x) är nollskild (för varje x) är det ekvivalent med att lösa differentialekvationen f'(x) = 2f(x). Lösningarna är f(x) = Ce^{2x} där C är en godtycklig konstant. Sådana funktioner duger alltså.

Ma4: De konstanta funktionerna som svarar mot att f'(x) är identiskt lika med noll duger.

e) T.ex. fungerar det med f(x) = x och g(x) = \frac{1}{1-x}.

Nästa steg:
Fundera på om resonemanget i d) är helt vattentätt. Vad händer om f'(x) är noll i enstaka punkter? Vad händer om f'(x) är noll i oändligt många, men inte alla punkter?

Hur hittar man exempel som i uppgift e)?