Handledning – Kvartcirkelbågar I En Kvadrat

[latexpage]
Förkunskaper: Ma4: triangelsatser, cirkelsegmentets area.
Syfte: Att öva geometriska och trigonometriska begrepp i areaberäkningar i sammansatta geometriska figurer

Lösningsförslag inkl elevtips:
Den gemensamma arean $ A $ är summan av fyra lika stora cirkelsegmentsareor MPN, NQK, KTL, LRM ( $ A_{1} $) och arean på en kvadrat MNKL $ A_{2} $. Triangeln $ ABN $ och triangeln $ AMD $ är liksidiga trianglar (varie sida är lika med $ a $) vilket medför att ^ BAN = ^ DAM = 60° vilket medför att ^ MAN = 30° = $ \frac{\pi}{6} $ rad.

En cirkelsegments area, t ex av segmentet MPN, $ A_{1} $ , är lika med en cirkelsektors area (AMN) subtraherad med arean av triangeln AMN.

$ A_{1}=\frac{v}{2}\cdot a^{2}- \frac{a^{2}\cdot sin 30}{2} = \frac{a^{2}}{4}\cdot (\frac{\pi}{3}- 1 ) $

$ A_{2}= MN^{2} $. $ MN^{2} $ kan bestämmas med cosinussatsen.

$ MN^{2}= a^{2}+ a^{2} -2\cdot a^{2}\cdot cos 30 = a^{2}\cdot (2 – \sqrt{3}) $

Den sökta arean $ A = 4\cdot A_{1}+ A_{2}= a^{2}\cdot \frac{\pi + 3 – 3\cdot \sqrt{3}}{3} $ .

Svar: $ A = a^{2}\cdot \frac{\pi + 3 – 3\cdot \sqrt{3}}{3} $

Tips till elever:
Starta med att upptäcka symmetrin i den givna figuren, även i den area som skall beräknas.
Vilken slags fyrhörning tror du att MNKL är? Vilken slags geometrisk figur är segmentet MPN ? Tänk på att bågen MN är en del av en cirkelbåge med mittpunkten A.
För att bestämma det segmentets area beräknas en cirkelsektors area (AMN) subtraherad med arean av triangeln AMN.