Handledning – Lika Areor Tredjegradspolynom

[latexpage]
Förkunskaper: Ma3, integraler, inflexionspunkter. Translation av grafer.
Syfte: Öva kreativ problemlösning/bevisföring

Lösningsförslag inkl elevtips:
Elevtips: Rita ett nytt koordinatsystem så att inflexionspunkten ligger i origo. Vad blir då kurvans respektive linjens ekvationer? Alternativt (mer formellt), låt $ \alpha $ vara inflexionspunktens $ x $-koordinat. Bilda funktionen $ g(x)=f(x+\alpha)-f(\alpha) $, vilket förskjuter (translaterar) kurvan så att inflexionspunkten hamnar i origo; alla areor och former bevaras, allting bara ”flyttas”.

Lösningsförslag:
Konstruera ett nytt koordinatsystem, genom parallellförskjutning av axlarna, sådant att inflexionspunkten ligger i origo. Antag att $ f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d $, i det nya koordinatsystemet. Vi får andraderivatan

$ f”(x)= 6ax+2b$.

Denna skall vara noll i origo, varav $ b=0 $.

$ b=0 \Rightarrow f(x)=ax^{3}+cx+d$.

Men även $ f(0)=0 $, så $ d=0 $ varav

$ f(x)=ax^{3}+cx $.

Nu till linjen. Denna kommer i det nya koordinatsystemet också att gå genom origo, och har således ekvationen $ y=kx $.

Tre skärningspunkter ger att $ ax^{3}+cx-kx=0 $ har tre reella lösningar, varav en är $ x=0 $. De andra två ges av $ ax^{2}+(c-k)=0 $ som har lösningarna

$ x=\pm \sqrt{\frac{k-c}{a}} =\pm\beta$.

Antag nu att $ a>0 $. Då blir areorna (från vänster till höger)

$ \int_{-\beta }^{0}{(ax^{3}+(c-k)x)dx} $ respektive $ \int_{0}^{\beta}{-(ax^{3}+(c-k)x)dx} $.

Att dessa är lika kan man förvissa sig om antingen genom att resonera kring udda funktioner och symmetriska intervall, eller genom att helt enkelt beräkna integralerna. Lika är de i alla fall, vilket skulle visas. Fallet då $ a<0$ är helt analogt.

Anmärkning: Jag ”upptäckte” detta då jag satt och räknade, och tyckte det var ett kul samband. Jag har inte sett det någon annanstans. Emellertid är det givetvis känt; först är man ju aldrig! Alltså kanske det finns ett mycket mer elegant bevis än mitt.