Handledning – NAPOLEONTRIANGEL
[latexpage]
Förkunskaper: Enkel geometri: triangel, omskriven cirkel. MaA, MaB. Fermatpunkten (denna uppgift borde göras först). För tillägget behövs additionsteoremet för cosinus och cosinussatsen. Ma4.
Syfte: Se Fermatpunkten.
Lösningsförslag inkl elevtips:
Vi betecknar omskrivna cirklarnas mittpunkter med MA, MB och MC och skärningspunkten mellan dessa tre cirklarna med P (det är Fermatpunkten), se figur.
Sträckan mellan MB och MC är vinkelrät mot AP (AP är en gemensam korda till cirklarna kring MB och MC) och sträckan mellan MB och MA är vinkelrät mot (gemensamma kordan) PC; betrakta nu fyrhörningen med hörnpunkterna MB, D, P, E där D resp. E är skärningspunkten mellan%0aNapoleontriangelsidorna och sträckan AP resp. CP, då fås att vinkeln vid MB är $360^o – 2 \cdot 90^o – 120^o = 60^o$ (∠$APC = 120^o$: se Fermatpunkten!).
Analogt fås att vinklarna vid MB och vid MB är $60^o$.
TILLÄGG:
Kom ihåg: För en liksidig triangel med sidolängd s gäller: arean är $ \frac{\sqrt{3}}{4}s^{2} $, den omskrivna cirkelns radie är $ \frac{s}{\sqrt{3}} $.
Vi sätter för enkelhetens skull den givna triangelns sidor a = |BC|, b = |AC|, c = |AB|, vinklarna vid A, B, C $ \alpha, \beta, \gamma $ och den inre resp. den yttre Napoleontriangelns sidolängd $s_y$ resp. $s_i$:
De omskrivna cirklarnas radier är $ \frac{a}{\sqrt{3}} $, $ \frac{ b }{ \sqrt{3} }, \frac{c}{\sqrt{3}} $; titta på triangeln med hörnen MB, C och MA och använd cosinusteoremet (vinkeln vid C är $ 30^{0}+\gamma+30^{0} $ (∠$AC(MB) =$ ∠$BC(MA) = 30^o$ ty medelpunkten till de omskrivna cirklarna ligger på bisektriserna), alltså är
$ s_{y}^{2}=\frac{a^{2}}{3}+\frac{b^{2}}{3}-\frac{2ab}{3}cos(\gamma+60^{0}) $, analogt
$ s_{i}^{2}=\frac{a^{2}}{3}+\frac{b^{2}}{3}-\frac{2ab}{3}cos(\gamma-60^{0}) $.
Differensen av erean av dessa trianglar är alltså
$ \frac{\sqrt{3}}{4}(s_{y}^{2}-s_{i}^{2})=\frac{\sqrt{3}\cdot2ab}{4\cdot3}(cos(\gamma-60^{0})-cos(\gamma+60^{0})) $ $ =\frac{ab}{2\sqrt{3}}(cos(\gamma)\frac{1}{2}+sin(\gamma)\frac{\sqrt{3}}{2}-(cos(\gamma)\frac{1}{2}-sin(\gamma)\frac{\sqrt{3}}{2} ))= $ $ \frac{ab}{2}sin(\gamma) $
och det är arean av triangeln ABC
