Handledning – Bernoulli-Polynom

Samuel Bengmark Handledning Ma3 22 november, 2021 | 0

Förkunskaper: Ma3

Syfte: Träna derivering och integrering.

Lösningsförslag inkl. elevtips
a) Eftersom $B_1' = 1 \cdot B_0 = 1$ så måste $B_1(x) = x+C$ för någon konstant C.

Villkoret $\int_0^1 B_1(x) = 0$ ger $\int_0^1 (x+C) dx = [\frac{x^2}{2} +Cx]_0^1 = \frac{1}{2} + C = 0$ så $C=-1/2$ och $B_1(x) = x - \frac{1}{2}$ .

Vi fortsätter på samma sätt och får

$B_2(x) = x^2-x+D$ , $\int_0^1 (x^2-x+D) dx = [\frac{x^3}{3} -\frac{x^2}{2} + Dx]_0^1 = -\frac{1}{6} + D = 0$ så $D=1/6$ och $B_2(x) = x^2-x+1/6$ och (kontrollera själv) $B_3(x) = x^3 -\frac{3}{2}x^2+ \frac{1}{2}x$ .

b) Vi har $0 = \int_0^1 B_{n-1}(x) dx = \int_0^1 \frac{B_n(x)}{n} dx = \frac{1}{n}[B_n(x)]_0^1 = \frac{1}{n} (B_n(1) - B_n(0))$ för $n \geq 2$ vilket medför att $B_n(1) = B_n(0)$ för dessa n.