Handledning – Bernoulli-Polynom

Handledning – Bernoulli-Polynom

Förkunskaper: Ma4

Syfte: Träna derivering och integrering.

Lösningsförslag inkl. elevtips
a) Eftersom B_1' = 1 \cdot B_0 = 0 så måste B_1(x) = x+C för någon konstant C. Villkoret \int_0^1 B_1(x) = 0 ger \int_0^1 (x+C) dx = [\frac{x^2}{2} +Cx]_0^1 = \frac{1}{2} + C = 0C=-1/2 och B_1(x) = x - \frac{1}{2}. Vi fortsätter på samma sätt och får B_2(x) = x^2-x+D, \int_0^1 (x^2-x+D) dx = [\frac{x^3}{3} -\frac{x^2}{2} + Dx]_0^1 = -\frac{1}{6} + D = 0D=1/6 och B_2(x) = x^2-x+1/6 och (kontrollera själv) B_3(x) = x^2 -\frac{3}{2}x^2+ \frac{1}{2}x.
b) Vi har 0 = \int_0^1 B{n-1}(x) dx = [nB_n(x)]_0^1 = n(B_n(1) - B_n(0)) för n \geq 2 vilket medför att B_n(1) = B_n(0) för dessa n.
c) Här kan man börja läsa: http://en.wikipedia.org/wiki/Bernoulli_polynomials, http://tripatlas.com/Bernoulli_polynomials

Nästa steg: Ta reda på vad Bernoullitalen är och hur de är hänger samman med Bernoullipolynomen.