Handledning – Bernoulli-Polynom

Handledning – Bernoulli-Polynom

Förkunskaper: MaD

Syfte: Träna derivering och integrering.

Lösningsförslag inkl. elevtips
a) Eftersom {B_1' = 1 \cdot B_0 = 0} så måste {B_1(x) = x+C} för någon konstant C. Villkoret {\int_0^1 B_1(x) = 0} ger {\int_0^1 (x+C) dx = [\frac{x^2}{2} +Cx]<em>0^1 = \frac{1}{2} + C = 0} så C=-1/2 och {B_1(x) = x - \frac{1}{2}}. Vi fortsätter på samma sätt och får {B_2(x) = x^2-x+D}, {\int_0^1 (x^2-x+D) dx = [\frac{x^3}{3} -\frac{x^2}{2} + Dx]_0^1 = -\frac{1}{6} + D = 0} så D=1/6 och {B_2(x) = x^2-x+1/6} och (kontrollera själv) {B_3(x) = x^2 -\frac{3}{2}x^2+ \frac{1}{2}x}.
b) Vi har {0 = \int_0^1 B</em>{n-1}(x) dx = [nB_n(x)]_0^1 = n(B_n(1) - B_n(0))} för {n \geq 2} vilket medför att {B_n(1) = B_n(0)} för dessa n.
c) Här kan man börja läsa: http://en.wikipedia.org/wiki/Bernoulli_polynomials, http://tripatlas.com/Bernoulli_polynomials

Nästa steg: Ta reda på vad Bernoullitalen är och hur de är hänger samman med Bernoullipolynomen.