[latexpage] Förkunskaper: Ma3 Syfte: Lösningsförslag inkl. elevtipsa) För cirkel $A(r) = \pi r^2 \Rightarrow A'(r) = 2 \pi r = O(r)$. För klot $V(r) = 4 \pi r^3/3 \Rightarrow V'(r) = 4 \pi r^2 = A(r)$. För kvadrat $A(s) = s^2 \Rightarrow A'(s) = 2s \neq 4s = O(s)$. b) Observera att $ A'(r) =…
Läs mer
[latexpage] Förkunskaper: Ma4, derivatan av en produkt. Eventuellt binomialutvecklingen och/eller induktion, beroende på vilken grad av lösning man vill lägga sig på. Syfte: Upptäcka mönster. Utveckla regler. Se skönheten i att fröken Diskret Matematik gör ett oväntat besök hos herr Analys. Lösningsförslag inkl. elevtipsElevtips: Jämför utseendet av andraderivatan med $ (a+b)^{2} $. De flesta gymnasieelever…
Läs mer
[latexpage] Förkunskaper: Matematik 4 (3). Trigonometri, areasatsen, randvinkelsatsen. Syfte: Beräkna längden av radien till den omskrivna cirkeln till en given triangel. Lösningsförslag inkl. elevtipsVi ritar triangeln och dess omskrivna cirkel. Bågvinkelsatsen ger att $\angle COB = 2 \cdot \angle A$, varför $\angle COT = \angle A$ Areasatsen ger: $T = \frac{ {bc\sin \alpha }}{2} \Leftrightarrow…
Läs mer
[latexpage] Förkunskaper: Likformighet, (ev. ekvationssystem), grafisk/numerisk bestämning av funktionsmaximum/nollställe. Ma4. Syfte: Lösa ett problem ur verkligheten, med en lättare del (bestäm ”x”) och en svårare (bestäm ”y”). Lösningsförslag inkl. elevtipsTips: rita figur, använd likformighet för att bestämma ”x”. Teckna ett uttryck för ”y” och sök ”y”-max. Använd grafräknare om nödvändigt. Lösning: Notera att lådans botten…
Läs mer
[latexpage] Förkunskaper: Ma1, Enkel algebra och förståelse för delbarhet krävs. Med kunskaper i kongruensräkning kan man förenkla framställningen. Syfte: Lära sig bevisföring. Lösningsförslag inkl. elevtipsLåt talet $N$ vara den $n+1$-siffriga talet $N=a_{n}a_{n-1}\cdots a_1a_0$. I det decimala positionsystemet betyder detta att $$N=a_{n}10^{n}+a_{n-1}10^{n-1}+\cdots +a_1 10+a_0.$$ (a) Eftersom $$ \left{\begin{array}{c} 10=3\cdot 3+1\\ 100=3\cdot 33+1\\ 1000=3\cdot 333+1\\ \vdots \end{array}…
Läs mer
[latexpage] Förkunskaper: Inget utöver vanlig geometri (arean av trianglar) krävs. Ma1. Syfte: Träna upp färdigheten att med enkla geometriska medel visa ett samband (en intrssant formel). Lösningsförslag inkl. elevtips$$ \frac{\left| area (APB)\right| }{\left| area (APC)\right| }=\frac{½h\left\vert BD\right\vert }{½h\left\vert DC\right\vert }=\frac{\left\vert BD\right\vert }{\left\vert DC\right\vert }. $$ På samma sätt fås $$ \frac{\left| area (ABD)\right| }{\left| area…
Läs mer
[latexpage] Förkunskaper: Denna uppgift kräver ingenting utöver vanlig geometri (arean av rektangel); vi använder dock satsen om ”cevianer” som borde alltså göras först. Ett annat bevis fås med satsen av ”Menelaos”. Ma1. Ma2. Syfte: Denna uppgift skall träna upp färdigheten att kunna se geometriska samband och därmed bevisa intressanta satser (som i ”tillämpningar”). Lösningsförslag inkl.…
Läs mer
[latexpage] Förkunskaper: Ma3, om man använder nedanstående lösningsmetod. Syfte: Öva generell hantering av normalens ekvation. Med förhållandevis enkla medel bevisa ett välkänt faktum, som dock mycket sällan (om någonsin) bevisas i en gymnasielärobok, nämligen att strålar som infaller parallellt med y-axeln reflekteras mot brännpunkten. Lösningsförslag inkl. elevtips Elevtips: Rita kurvan, dess normal och ljusstrålens väg.…
Läs mer
[latexpage] Förkunskaper: Ma3 Syfte: Träna derivering och integrering. Lösningsförslag inkl. elevtipsa) Eftersom $B_1′ = 1 \cdot B_0 = 1$ så måste $B_1(x) = x+C$ för någon konstant C. Villkoret $\int_0^1 B_1(x) = 0$ ger $\int_0^1 (x+C) dx = [\frac{x^2}{2} +Cx]_0^1 = \frac{1}{2} + C = 0$ så $C=-1/2$ och $B_1(x) = x – \frac{1}{2}$. Vi…
Läs mer
[latexpage] Förkunskaper: Ma2: likformiga trianglar, geometriskt medelvärde (överkurs). Syfte: Att arbeta med begreppet geometriskt medelvärde. Lösningsförslag inkl. elevtipsTrianglarna $ BCD $ och $ AOD $ är likformiga, eftersom trianglarna är rätvinkliga och vinkeln $ BCD $ = vinkeln $ BAO $. $\frac{AD}{CD}= \frac{OD}{BD}$ dvs $CD\cdot OD = AD\cdot BD $. Trianglarna $ BKD $ och…
Läs mer
© 2021 MATTESHERPA. Byggt av Matematiska Vetenskaper
