[latexpage]Förkunskaper: Ma4, trigonometriska ekvationerSyfte: Att öva trigonometriska ekvationer Lösningsförslag inkl elevtips:En analys av ekvationen visar att $ (cos 6x – cos 4x)^{2} \leq 4 $ och $ 5 – sin 3x \geq 4 $ vilket innebär att ekvationen har lösningar om och endast om $ |cos 6x – cos 4x | = 2 $ och…
Läs mer
[latexpage]Förkunskaper: Ma4, grundläggande trigonometriSyfte: Bearbeta frågan om varför radianer finns som mått på vinklar och vad dess fördelar är. Lösningsförslag inklusive elevtips: Eftersom ett helt varv motsvarar 360° eller $2\pi$ radianer får vi att $$\displaystyle 225^o=\frac 54\pi \text{ radianer } =\frac 52^{\perp} \text{ eftersom } 225\frac{\pi}{180}=\frac 54\pi \text{ och } 225\frac{1}{90}=\frac 52.$$ I alla tre…
Läs mer
[latexpage]Förkunskaper: Ma4Syfte: Öva problemlösning med trigonometri och polynomekvationer. Lösningsförslag inkl elevtips:Svar: $210^o, 270^o, 330^o$ Steg 1: Sätt $\sin x=z $. Då fås ekvationen $ 4z^3+12z^2+11z+3=0$. Steg2: Prövning ger att $z_1=-1$ är en rot. Steg 3: Faktorsatsen och polynomdivision ger att VL=$(z+1)(4z^2+8z+3)$ Steg 4: Lös ekvationen $4z^2+8z+3=0$ dvs $z^2+2z+\frac 34=0$ som ger $z_2=-\frac 12$ och $z_3=-\frac…
Läs mer
[latexpage]Förkunskaper: Ma3 för Metod 1: Sinussatsen, cosinussatsen. Ma4 för metod 2: Additionssatsen och subtraktionssatsen.Syfte: Öva triangelsatserna och trigonometriska formlerna. Lösningsförslag inkl elevtips:Metod 1 – med hjälp av sinussatsen och cosisnusatsen $\frac{\sin\alpha}{a\,}=\frac{\sin\beta}{b}=\frac{\sin\gamma}{c}=>\frac{\sin\gamma}{\sin\beta}=\frac{c}{b}$ $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos\alpha=>2\cos\alpha=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{bc}$ $\frac{c}{b}=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{bc}=>bc^{2}=b(b^{2}+c^{2}-a^{2})=>c^{2}=b^{2}+c^{2}-a^{2}=>$ $b^{2}=a^{2}=>b=a=>$ triangeln är likbent Metod 2 – med hjälp av triangelns vinklar och de trigonometriska formlerna $\sin\gamma=\sin(180-(\beta+\alpha))=\sin(\beta+\alpha)=\sin\beta\cdot\cos\alpha+\cos\beta\cdot\sin\alpha$ $2\sin\beta\cos\alpha=\sin\beta\cos\alpha+\cos\beta\sin\alpha=>\cos\beta\sin\alpha-\sin\beta\cos\alpha=0$ $\sin(\alpha-\beta)=0=>\alpha=\beta=>$ triangeln är likbent
[latexpage]Förkunskaper: Ma4 (3)Syfte: Öva trigonometri. Generalisering av problem. Algebraisk hantering. Lösningsförslag inkl elevtips:Tips: Kolla gärna först AvståndTillHorisonten. Båglängd = radie ⋅ mittpunktsvinkel. Vi löser direkt det generella problemet. Den som önskar göra specialfallen först kan bara substituera värdena för variablerna. Låt som sagt båglängden mellan orterna vara ”b” och personens höjd över vattenytan (ögonen) ”h”.…
Läs mer
Vättern sträcker sig från Askersund i norr till Jönköping i söder. Avståndet mellan orterna är 13 mil utefter vattenytan. Antag att du är i Askersund. Gör approximationen att Jorden är ett perfekt klot. Hur högt behöver ett torn i Jönköping vara (över vattenytan) för att du skall se det med hänsyn till Jordens krökning, om…
Läs mer
[latexpage] Förkunskaper: Ma3 för första delen. Ma4 (kedjeregeln, andraderivata) för senare delen. Syfte: Teoretisera kring derivatan av polynomfunktioner. Introducera (?) begreppet inflexionspunkt. Öva bevisföring. Lösningsförslag inkl. elevtipsElevtips: Börja med att dra tangenten! Rita därefter en kurva som uppfyller kravet. Hur måste den se ut? Vad gäller för polynomfunktioner vars graf har detta utseende? Antag att…
Läs mer
[latexpage] Förkunskaper: Ma4, derivatan av en produkt. Eventuellt binomialutvecklingen och/eller induktion, beroende på vilken grad av lösning man vill lägga sig på. Syfte: Upptäcka mönster. Utveckla regler. Se skönheten i att fröken Diskret Matematik gör ett oväntat besök hos herr Analys. Lösningsförslag inkl. elevtipsElevtips: Jämför utseendet av andraderivatan med $ (a+b)^{2} $. De flesta gymnasieelever…
Läs mer
[latexpage] Förkunskaper: Matematik 4 (3). Trigonometri, areasatsen, randvinkelsatsen. Syfte: Beräkna längden av radien till den omskrivna cirkeln till en given triangel. Lösningsförslag inkl. elevtipsVi ritar triangeln och dess omskrivna cirkel. Bågvinkelsatsen ger att $\angle COB = 2 \cdot \angle A$, varför $\angle COT = \angle A$ Areasatsen ger: $T = \frac{ {bc\sin \alpha }}{2} \Leftrightarrow…
Läs mer
[latexpage] Förkunskaper: Likformighet, (ev. ekvationssystem), grafisk/numerisk bestämning av funktionsmaximum/nollställe. Ma4. Syfte: Lösa ett problem ur verkligheten, med en lättare del (bestäm ”x”) och en svårare (bestäm ”y”). Lösningsförslag inkl. elevtipsTips: rita figur, använd likformighet för att bestämma ”x”. Teckna ett uttryck för ”y” och sök ”y”-max. Använd grafräknare om nödvändigt. Lösning: Notera att lådans botten…
Läs mer
© 2021 MATTESHERPA. Byggt av Matematiska Vetenskaper
