Handledning – Gränsvärde Med Decimaldel F1967-1

[latexpage]
Förkunskaper: Ma3
Syfte: Träna förståelse för ett introducerat begrepp $\{x\}$. Vänja sig vid gränsvärdesbegreppet.

Lösningsförslag inkl elevtips:
a) Enligt definitionen är $\{x\}$ skillnaden mellan x och det största heltalet mindre än x. Om t.ex. x=-1,1 så bli alltså $\{x\} = -1,1-(-2) = 0,9$ (och inte -0,1 eller 0,1). En, kanske lite slarvig, regel är att $\{x\}$ blir ”ett minus decimaldelen” om x<0.

b) Sant; Om bara n väljs tillräckligt stort blir såväl ${x_n}$ som ${y_n}$ mindre än 1/2. Men då gäller att $\{x_n + y_n\} = \{x_n\} + \{y_n\}$ och $\{x_n\} + \{y_n\} \to 0$.

c) Falskt; Låt $x_n = 0$ och $y_n = 1/n$. Då blir $\{x_n – y_n\} = 1-1/n \to 1$ då $n \to \infty$.

d) Falskt; Låt $x_n = n$ och $y_n = 1/2n$. Då blir $\{x_n \cdot y_n\} = 1/2$ oavsett n och alltså $x_n \cdot y_n \to 1/2$ då $n \to \infty$.

Nästa steg:
Genomför ett ordentligt bevis för slutsatsen i b)