Handledning – Snöbollskast

Handledning – Snöbollskast


Förkunskaper: Ma4, trigonometriska ekvationer
Syfte: Öva problemlösning. ”Praktisk” tillämpning på trig ekvationer. Substitution.

Lösningsförslag inkl elevtips:
Elevtips 1: Uttryck y som funktion av x och bestäm \alpha så att ekvationen satisfieras. Den är exakt lösbar, även om inte vinklarna blir så jämna och fina.

Elevtips 2: Finns det mer än en lösning, kan han skjuta flackt och träffa näsan; kan han lobba och träffa hjässan?

Elevtips 3: Observera att x=ut\cos\alpha  \Leftrightarrow t=\frac{x}{u\cos\alpha}. Substituera för t i y=ut\sin\alpha-\frac{gt^{2}}{2}, så får du en trigonometrisk ekvation.

Elevtips 4: Omskrivning med hjälp av trigonometriska ettan ger en andragradsekvation i \tan\alpha som kan lösas.

Lösningsförslag: Följer man elevtipsen ovan så får man ekvationen y=u\frac{x}{ucos\alpha}\sin\alpha-\frac{g}{2}\frac{x^{2}}{u^{2}\cos^{2}\alpha}

som förenklas till

y=x\tan\alpha-\frac{g}{2}\frac{x^{2}}{u^{2}\cos^{2}\alpha}

Nu multiplicerar vi andra termens täljare med 1=\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha, vilket inte förändrar dess värde:

y=x\tan\alpha-\frac{gx^{2}}{2u^{2}}\frac{\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha }{\cos^{2}\alpha}=x\tan\alpha-\frac{gx^{2}}{2u^{2}}(\tan^{2}+1)

För att träffa skall

\left{\begin{matrix} x=10\\ y=5 \end{matrix}\right.

Dessutom var ju g=10 och u=20 och sätter vi in dessa värden får vi slutligen ekvationen (efter någon förenkling)

\frac{1000}{800}\tan^{2}\alpha-10\tan\alpha+\frac{1000}{800}+\frac{4000}{800}=0

som har lösningarna

\tan\alpha=4\pm\sqrt{11}

Eftersom vinklarna måste vara mellan 0 och 90 grader, får vi de två lösningarna

\alpha_{1}=34^{o} (träff på näsan) och

\alpha_{1}=82^{o} (träff på hjässan)

om vi avrundar till hela grader.