Handledning – April-Derivata – EJ FÄRDIG

[latexpage]

Förkunskaper: Logaritmfunktionens värdemängd och definitionsmängd. Derivering är ej nödvändigt för att lösa den givna uppgiften (men för ”’Nästa steg”’). Ma4.

Syfte: Att vara uppmärksam på uppgiften och tänka efter innan man sätter igång och räknar.

Elevtips 1: Observera namnet på uppgiften. Tänk dig att det är den 1 april.
Elevtips 2: Du behöver aldrig derivera f(”x”) för att besvara frågan.

Lösningsförslag: De reella funktionerna ln(x) och lg(x) är bara definierade för x > 0. Vad betyder det för definitionsmängden till f(x)? Vi bestämmer definitionsmängden till f(x): -1 ≤ sin(x) ≤ 1. Funktionerna ln(sin(x)) och lg(sin(x)) är bara definierade då sin(x) > 0 och antar största värdet noll då sin(x) = 1. Varken ln(lg(sin(x))) eller lg(ln(sin(x))) är alltså definierade för något enda värde på x. Eftersom f(x) = ln(lg(sin(x))) – lg(ln(sin(x))), så följer att ’funktionen’ f(x) inte heller är definierad för något reellt värde på x. Den antar inga reella värden och det existerar därför ingen derivata f ’(x). Faktum är att man inte ens kan kalla f(x) funktion, eftersom den inte är definierad för något enda värde. Men kom ihåg att det var den 1:a april!

Nästa steg: Använd absolutbelopp för att undvika negativa argument. |x| = x om x ≥ 0 och |x| = -x om ”x” [=<=] 0. Derivatan av ln|x| = 1/x för alla x ≠ 0.

Låt $f_{abs}(x) = ln|lg|sin(x)|| – lg|ln|sin(x)||$ definierad för alla reella x utom x = n$ \pi $/2. (Varför?) Med omskrivningen $ lg|x| = \frac{ln|x|}{ln(10)} $ beräknas derivatan av $f_{abs}(x)$ till $ f_{abs}'(x)= \frac{1-\frac{1}{ln(10)}}{tan(x)ln|sin(x)|} $. Grafen y = f ’(x) antar ett största värde i intervallet 0 < x < $ \pi $/2. Numeriskt bestämt till f ’(0,46762) = -1,40593.

Av David Ström