Handledning – April-Derivata – EJ FÄRDIG

Handledning – April-Derivata – EJ FÄRDIG

Förkunskaper: Logaritmfunktionens värdemängd och definitionsmängd. Derivering är ej nödvändigt för att lösa den givna uppgiften (men för ”’Nästa steg”’). MaD.

Syfte: Att vara uppmärksam på uppgiften och tänka efter innan man sätter igång och räknar.

Elevtips 1: Observera namnet på uppgiften. Tänk dig att det är den 1 april.
Elevtips 2: Du behöver aldrig derivera f(”x”) för att besvara frågan.

Lösningsförslag: De reella funktionerna ln(”x”) och lg(”x”) är bara definierade för ”x” > 0. Vad betyder det för definitionsmängden till f(”x”)? Vi bestämmer definitionsmängden till f(”x”): -1 ≤ sin(”x”) ≤ 1. Funktionerna ln(sin(”x”)) och lg(sin(”x”)) är bara definierade då sin(”x”) > 0 och antar största värdet noll då sin(”x”) = 1. Varken ln(lg(sin(”x”))) eller lg(ln(sin(”x”))) är alltså definierade för något enda värde på x. Eftersom f(”x”) = ln(lg(sin(”x”))) – lg(ln(sin(”x”))), så följer att ‘funktionen’ f(”x”) inte heller är definierad för något reellt värde på ”x”. Den antar inga reella värden och det existerar därför ingen derivata f ‘(”x”). Faktum är att man inte ens kan kalla f(”x”) funktion, eftersom den inte är definierad för något enda värde. Men kom ihåg att det var den 1:a april!

Nästa steg: Använd absolutbelopp för att undvika negativa argument. |”x”| = ”x” om ”x” ≥ 0 och |”x”| = -”x” om ”x” [=%3c=] 0. Derivatan av ln|”x”| = 1/”x” för alla ”x” ≠ 0.%0a%0aLåt f’abs‘(”x”) = ln|lg|sin(”x”)|| – lg|ln|sin(”x”)|| definierad för alla reella ”x” utom ”x” = n{\pi}/2. (Varför?) Med omskrivningen {lg|x| = \frac{ln|x|}{ln(10)}} beräknas derivatan av f’abs‘(”x”) till {f_{abs}'(x)= \frac{1-\frac{1}{ln(10)}}{tan(x)ln|sin(x)|}}. Grafen ”y” = f ‘(”x”) antar ett största värde i intervallet 0 %3c ”x” %3c {\pi}/2. Numeriskt bestämt till f ‘(0,46762) = -1,40593.

Av David Ström