Handledning – Primitiv Till Heaviside

[latexpage]
Förkunskaper: Ma3, Ma4.
Syfte: Få större insikt om samband mellan derivator och primitiva funktioner.

Lösningsförslag inkl elevtips:
Vi bestämmer primitiv funktion F i intervallen $x > 0$ och $x<0$ var för sig först.

Om $x < 0$ så är F(x)=C där C är någon konstant. Om $x > 0$ så är F(x)=x+D där D är någon konstant.

Eftersom F är kontinuerlig (ty F är deriverbar) så måste i så fall C=D och F(0)=C. Men då får vi

$\lim_{h \to 0^-} \frac{F(h) – F(0)}{h} = 0$

men

$\lim_{h \to 0^+} \frac{F(h) – F(0)}{h} = 1$

varför F'(0) inte existerar. Alltså kan inte H ha en primitiv funktion, eller med andra ord är H inte en derivata.

Nästa steg: Måste en funktion som är en derivata i själva verket ha en sammanhängande graf (vara kontinuerlig)? Tips: Undersök derivatan av $x^2 \sin(1/x)$.