[latexpage]Förkunskaper: Ma4Syfte: Träna algebraiska manipulationer, derivera en kvot, se koppling mellan derivatans tecken och växande/avtagande, repetera defintionen av talet e Lösningsförslag inkl elevtips:En praktisk notation är $n^{n-1} ? (n-1)^n$ där vi alltså ska bestämma ? som ett olikhetstecken. Lösningsförslag 1 Tips: Logaritmera, stuva om och studera en lämplig funktion med avseende på växande/avtagande. Lösning: Fallet…
Läs mer
[latexpage]Förkunskaper: Derivata av polynom. Variabelsubstitution. Faktorisering av polynom. Ma3.Syfte: Hitta det enklaste(?) sättet att lösa problemet. Elevtips:$ f(x)=(x-a)(x-a-d)(x-a-2d)(x-a-3d) $, naturligtvis går det att multiplicera ihop faktorerna, förenkla, derivera och försöka faktorisera derivatan, men det blir krångliga beräkningar! Knepet är att göra en substitution, så att nollställena i stället blir $ -\frac{3d}{2}, -\frac{d}{2}, \frac{d}{2}, \frac{3d}{2} $.…
Läs mer
[latexpage]Förkunskaper: Ma3Syfte: Fördjupa förståelsen för begreppen derivata, funktionsvärde, mm. Motivera tangentberäkningar. Peka på olika beräkningsmetoder. Lösningsförslag inkl elevtips:Tangentens ekvation är $f'(a)=\frac{y-f(a)}{x-a} $. Lämpligen löser man denna med avseende på y. Värdet av y ger approximationen till f(x), men endast om x är ”tillräckligt nära” a. För $ \sqrt{96} $ används givetvis a=100. I ett intervall…
Läs mer
[latexpage]Förkunskaper: Ma3, integraler, inflexionspunkter. Translation av grafer.Syfte: Öva kreativ problemlösning/bevisföring Lösningsförslag inkl elevtips:Elevtips: Rita ett nytt koordinatsystem så att inflexionspunkten ligger i origo. Vad blir då kurvans respektive linjens ekvationer? Alternativt (mer formellt), låt $ \alpha $ vara inflexionspunktens $ x $-koordinat. Bilda funktionen $ g(x)=f(x+\alpha)-f(\alpha) $, vilket förskjuter (translaterar) kurvan så att inflexionspunkten hamnar…
Läs mer
[latexpage]Förkunskaper: Derivatan av logaritmfunktionen för olika baser. Begreppet invers funktion. Tangent. Tangeringspunkt. Ma3.Syfte: Lösa problemet m.h.a. derivata. Ev kontrollera lösningen med grafräknaren. Lösningsförslag inkl elevtips:Elevtips: Funktionerna är varandras inverser, d.v.s. deras grafer är speglingar i linjen y = x. Tänk på uppgiftens namn. Lösning: Värdet på b > 1 måste väljas så att den gemensamma…
Läs mer
[latexpage]Förkunskaper: grundläggande geometri, kunna bestämma max/min med hjälp av derivata. Ma3.Syfte: Att för hand lösa ett geometriskt problem med hjälp av verktyg från analysen. Lösningsförslag inkl elevtips:Tips: Rita en figur där diagonalerna bildar 45° vinkel. Försök sedan att ställa upp ett uttryck för a/b, där a är den längre och b den kortare sidan av…
Läs mer
[latexpage]Förkunskaper: Ma3 Lösningsförslag inkl elevtips:Antag att tangeringspunkterna är $ (x_1,y_1) $ respektive $ (x_2,y_2) $ där $ y_1=x_1^2+4 $ och $ y_2=-(x-1)^2 $. Derivering ger $ y’_1(x_1)=2x_1 $ och $ y’_2=-2(x_2-1) $. Riktningskoefficienten $ k $ för en gemensam tangent satisfierar då följande tre ekvationer. $ k=2x_1 $, $ k=-2(x_2-1) $ och $ k=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2} $,…
Läs mer
[latexpage]Förkunskaper: Framförallt Ma4. Ma5 (differentialekvationer) för en av lösningarna till d).Syfte: Träna deriveringsregler Lösningsförslag inkl elevtips:a) Låt $f(x)=g(x)=x$. Då är $(f(x)\cdot g(x))’ = 2x$ men $f'(x) = g'(x) = 1$ så $f'(x) \cdot g'(x) = 1$. b) Låt $f(x)$ vara ett polynom av grad $n>0$ och $g(x)$ ett polynom av grad $m>0$. Då har $(f(x)…
Läs mer
[latexpage]Primitiv till Heavisides stegfunktion? Heavisides stegfunktion ”H” definieras av $H(x) = 0 \textrm{ om } x < 0 \textrm{ och } H(x) = 1 \textrm{ om } x \geq 0$. Är det möjligt att bestämma en primitiv funktion till ”H”? Om ja, bestäm en sådan primitiv. Om nej, motivera varför det är omöjligt.
[latexpage]Förkunskaper: Ma3, Ma4.Syfte: Få större insikt om samband mellan derivator och primitiva funktioner. Lösningsförslag inkl elevtips:Vi bestämmer primitiv funktion F i intervallen $x > 0$ och $x<0$ var för sig först. Om $x < 0$ så är F(x)=C där C är någon konstant. Om $x > 0$ så är F(x)=x+D där D är någon konstant.…
Läs mer
© 2021 MATTESHERPA. Byggt av Matematiska Vetenskaper
