[latexpage]Förkunskaper: Denna uppgift kräver ingenting utöver enkel geometri (Pytagoras sats). Ma1Syfte: Träna upp geometriskt tänkande Lösningsförslag inkl elevtips:Beteckningar: $A, B, C$ är triangelns hörnpunkter, $A$ är kateternas skärningspunkt, $r$ resp. $M$ är radien resp. medelpunkten av den sökta cirkeln. Eftersom cirkeln tangerar kateterna så är $A, M$ hörnpunkter av en kvadrat med diagonalen $AM$ och…
Läs mer
[latexpage]Förkunskaper: Ma2, vinkelsumma i fyrhörning inskriven i cirkel Lösningsförslag inkl elevtips:Rita förhörningarna ADPF, BEPD och CFPE. De är alla inskriva i cirklar så $\wedge DAF + \wedge DPF = \wedge DBE + \wedge DPE = \wedge ECF + \wedge EPF = 180^{\circ}$. Dessutom ser vi att $\wedge DPF + \wedge EPD + \wedge EPF =…
Läs mer
[latexpage]Betrakta tredjegradsekvationen $ \lambda^3 – 2\lambda^2 +a\lambda + (1-a)=0 $ där $ a $ är ett reellt tal. i) Lös ekvationen för några olika värden på $ a $. ii) Visa att ekvationen har en positiv reell heltalsrot för alla värden på $ a $. iii) Låt lösningarna vara $ \lambda_1, \lambda_2 $} och {$…
Läs mer
[latexpage]Förkunskaper: Ma4, Ma5Syfte: Uppgiften ger eleven möjligheten att gissa en heltalslösning (ekvationen har roten $ \lambda=1, \forall a \in \mathbb{R} $) och sedan polynomdividera bort en faktor $ \lambda – 1 $. Lösningsförslag inkl elevtips:ii) När eleven kommit underfund med att $ \lambda = 1 $ för vilket $ a $ man än väljer, t.ex.…
Läs mer
[latexpage]Förkunskaper: Ma2, Ma3, 3-grad, ekvation, polynom, bevis, teknisk färdighet Lösningsförslag inkl elevtips: (a) Substitutionen $ x=t+k $ ger $$ t^3+(3k+a)t^2+(3k^2+2ak+b)t+k^3+ak^2+bk+c=0.$$ Välj $ k=-\frac a3 $ för att få koefficienten framför $ t^2 $ noll. Då blir konstanten och koefficienterna framför $ t $ $$p = b – \frac{a^2}{3}.$$ $$ q=\frac{2a^3}{27}-\frac{ab}{3}+c.$$ (b) Sätt $$ \left{ \begin{array}{l}…
Läs mer
[latexpage]Förkunskaper: Ma4 Lösningsförslag inkl elevtips:Ellipsens ekvation är $ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 $ dvs $ b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2 $. Med implicit derivering (dvs antag att $ y=y(x) $ och derivera m.a.p. x) fås $ b^22x+a^22yy'(x)=0 $ varav följer att $ y’=-\frac{b^2}{a^2}\frac{x}{y} $. Antag att $ P=(x_0,y_0) $ med $ x_0>0, y_0>0 $. Då är tangentens riktningskoefficienten $ k_t=-\frac{b^2}{a^2}\frac{x_0}{y_0} $ och…
Läs mer
[latexpage]Förkunskaper: Ma4 Lösningsförslag inkl elevtips:Kontroll: $ (x_0,y_0)=(2,1) $ ligger på kurvan ty $ 8-6+4-5=1 $. Tangentens ekvation ges av $ y-y_0=k_t(x-x_0) $ där $ k_t=f'(x_0) $. Metod 1: Använd implicit deriviering, dvs antag att $ y=y(x) $ och derivera map $ x $. Då fås $ 4x-3+8y(x)y'(x)-5y'(x)=0 $ $$ y'(x)=-\frac{4x-3}{8y(x)-5} $$ där $ (x_0,y_0)=(2,1) $…
Läs mer
[latexpage]Förkunskaper: Ma4 Lösningsförslag inkl elevtips:Sätt $ f(x)=4\left( \frac{2x^2+3x+4}{3x^2+2x+1}\right)^2 = 4(g(x))^2$, där $$ g(x)=\frac{2x^2+3x+4}{3x^2+2x+1} $$ Tangentens ekvation ges av $ y-y_0=k_t(x-x_0) $ där $ k_t=f'(x_0) $. Vi har $x_0=1$ som ger $$ y_0=4\left(\frac{2+3+4}{3+2+1} \right)^2 = 9 $$ Kedjeregeln ger då att $$ \displaystyle f'(x)=4\cdot 2\cdot g(x) \cdot g'(x) $$ där $$ g'(x)= \frac{ (4x+3)(3x^2+2x+1)-(6x+2)(2x^2+3x+4) }{ (3x^2+2x+1)^2…
Läs mer
[latexpage]Förkunskaper: Ma4, tangentens ekvation, normalens ekvation, kedjeregeln.Syfte: En klassisk tangentuppgift där man får prova sina kunskaper om kedjeregeln och tangentens/normalens ekvation. Lösningsförslag inkl elevtips:Svar: Tangenten har ekvation 3y-2x=10 och normalen ekvation 3x+2y=24. Lösning: Sätt $ f(x)=\sqrt{7x+4\sqrt{x}}=\sqrt{g(x)} $, där $ g(x)=7x+4\sqrt{x} $. Tangentens ekvation ges av $ y-y_0=k_t(x-x_0) $ där $ k_t=f'(x_0) $. Vi har $x_0=4$…
Läs mer
[latexpage]Förkunskaper: Ma3 Lösningsförslag inkl elevtips:Lösning: Vi noterar första att det är tillräckligt att visa påståendet för kurvan $y=ax^2$. Det är geometriskt uppenbart att detta är möjligt, vi flyttar hela ”situationen” i sid- och höjdled så att kurvans vertex hamnar i origo. Då blir b=c=0. Låt nu $(x_1, ax_1^2)$ och $(x_2, ax_2^2)$ vara två (olika) punkter…
Läs mer
© 2021 MATTESHERPA. Byggt av Matematiska Vetenskaper
