[latexpage]Förkunskaper: Jämna och udda tal Lösningsförslag inkl elevtips:Lösningsförslag (skrivet för att inte kräva speciella förkunskaper) 1782 är jämnt vilket medför att även $ 1782^{12} $ är jämnt. På samma vis blir $ 1841^{12} $ udda. Summan av ett jämnt och ett udda tal är ett udda tal. Vänster led är alltså ett udda tal. I…
Läs mer
[latexpage]Förkunskaper: Ma2, Ma3, Ma4. Pytagoras sats, likformiga trianglar, rymdgeometri Lösningsförslag inkl elevtips:Svar: $\frac{a\sqrt{6}}{12}$ Antag att tetraederns hörn är A, B, C och D. Lägg ett plan (PL) genom två hörn (A och D) och tetraederns mittpunkt O. Detta plan skär BC i mittpunkten E. Antag att Q är medelpunkten i triangeln ABC. Då är $|AE|=\frac{a\sqrt{3}}{2}$,…
Läs mer
[latexpage]Förkunskaper: Ma3Syfte: Träna derivatans och andraderivatans betydelse som hastighet. Lösningsförslag inkl elevtips:a) $H'(t)$ är det hastighet med vilken vattenytan i tanken höjs. Eftersom det hela tiden är ett tillflöde måste $H'(t) > 0,$ men dock ej konstant. $V'(t)$ är den hastighet med vilken volym i tanken ökar. Eftersom det, enligt förutsättningarna är ett tillflöde samma…
Läs mer
[latexpage]Förkunskaper: Här krävs inget utöver elementär geometri; men man borde dock ge som tips att rita linjer, parallella med triangelns sidor, genom P. Ma1. Lösningsförslag inkl elevtips: Man inser lösningen direkt om man ritar tre linjer, parallella med triangelns sidor, genom P:det ger tre pararallegrogram vid hörnen och tre liksidiga trianglar vid P (gråa), som…
Läs mer
[latexpage]Förkunskaper: Inga särskilda förkunskaper krävs.Syfte: Introduktion till diofantiska ekvationer. Öva problemlösning. Lösningsförslag inkl elevtips:Alternativ 1: Elevtips: Följande strategi kan vara lämplig: Försök att hitta sju tal i rad som kan betalas, dvs sju tal i rad som kan skrivas som 7a+11b, där a och b är positiva heltal. Vad händer med det åttonde talet? Lösningsförslag:Svaret…
Läs mer
[latexpage]Förkunskaper: Här krävs inget utöver elementär geometri (arean av en triangel); man inser lösningen direkt om man ställer upp en ”areabalans”. Ma1 Lösningsförslag inkl elevtips: Elevtips: Dela upp triangeln och skriv sedan triangelarean på två olika sätt. Lösning: Hela triangelns area är lika med summan av de tre deltrianglarna $APB, CPB$ och $APC$ med höjderna…
Läs mer
[latexpage]Förkunskaper: Ma4 Lösningsförslag inkl elevtips:Tips: Försök illustrera påståendena med grafer. Lösning:Båda påståendena är falska! För funktionen $f(x) = \frac{\sin x^2}{x}$ gäller att $f(x) \to C=0$ men inte $f'(x) \to 0$ då $x \to \infty$. För funktionen $f(x) = \ln x$ gäller att $f'(x) \to 0$ men inte $f(x) \to C$ då $x \to \infty$. Nästa…
Läs mer
[latexpage]Förkunskaper: Ma3Syfte: Öva problemlösning med trigonometri, speciellt sinussatsen. Lösningsförslag inkl elevtips:Avstånd mellan intilliggande hörn. Medelpunktsvinkeln $c_1$ för radierna i n-hörningen som går igenom två hörn intilliggande hörn är $$ c_1=\frac{2\pi}{n}.$$ Om $d_1$ betecknar avståndet mellan två intilligande hörn säger då sinussatsen att $$\frac{d_1}{\sin{\frac{2\pi}{n}}}=\frac{r}{\sin \alpha}$$ där $c_1+2\alpha =\pi $, dvs $\alpha=\pi (\frac{1}{2}-\frac{1}{n})$. Detta ger då att…
Läs mer
[latexpage]Förkunskaper: Bisektriser, Triangelns area. Ma2.Syfte: Få kännedom om in- och vidskrivna cirklar. Lösningsförslag inkl elevtips: $T = \frac{{ar}}{2} + \frac{{br}}{2} + \frac{{cr}}{2} = \frac{{ar + br + cr}}{2} = r\frac{{a + b + c}}{2} = rp$ Alltså är $r = \frac{T}{p}$ Vidskriven cirkel $T_{ABC}$ = $T_{ACO}+T_{ABO}-T_{BCO} = \frac{{br_a }}{2} + \frac{{cr_a }}{2} – \frac{{ar_a }}{2}=…
Läs mer
[latexpage]Förkunskaper: Ma2, Ma3, Ma4, Ma5 Syfte: Att kunna sammanfatta sina kunskaper utifrån enkla förutsättningar och därefter utföra ett bevis. Lösningsförslag inkl elevtips:i) Notera först att påståendet är ekvivalent med att åtminstone ett tal i trippeln alltid är jämnt, dvs. delbart med $2$. Notera sedan att kvadraten på ett udda tal alltid är udda och kvadraten…
Läs mer
© 2021 MATTESHERPA. Byggt av Matematiska Vetenskaper
